這種動態編程算法的時間復雜度是多少？

Question

我正在從一本書中學習動態編程解決方案。 我理解問題的解決方案，但我不確定解決方案的時間復雜性，本書沒有提供。

我的問題：

給定無限數量的季度（25美分），硬幣（10美分），鎳幣（5美分）和便士（1美分），編寫代碼來計算代表n美分的方式的數量。

我的分析：

每個輸入必須經過4個“級別”，即25,10,5,1。 在第一級中，循環將執行n / 25次，在第二級中循環將執行最多（n / 25） （n / 10）次，第三級最多執行（n / 25） （n / 10） （n / 5），最后一級最多執行（n / 25） （n / 10）*（n / 5） n。 因此總運行時間為（n / 25） （n / 10）*（n / 5） n +（n / 25） （n / 10） （n / 5）+（n / 25） （n / 10） + n / 25，即O（N ^ 4）。 首先，我不確定我的歸納是否正確。 其次，如果我是對的，我想知道是否有更緊密的聯系，因為在每個級別我只計算了最大時間而不是平均時間。

解決方案如下：

int makeChange(int n) {
    int[] denoms = {25, 10, 5, l};
    int[][] map = new int[n + l][denoms.length]; // precomputed 
            vals
    return makeChange(n, denoms, 0, map);
}

int makeChange(int amount, int[] denoms, int index, int[][] map) {
    if (map[amount][index] > 0) {//retrieve value
        return map[amount][index];
     }
    if (index >= denoms.length - 1) return 1; // one denom remaining
    int denomAmount denoms[index];
    int ways = 0;
    for (int i= 0; i * denomAmount <= amount; i++) {
        //go to next denom, assuming i coins of denomAmount
        int amountRemaining = amount - i * denomAmount;
        ways += makeChange(amountRemaining, denoms, index + 1, 
             map);
    }
    map[amount][index] = ways;
    return ways;
}

Answer 1

寫入的算法是O（n ² ）。 分析遞歸函數時，可以將它們分成兩部分：

1. 每個職能所做的工作
2. 工作完成的次數

那么這只是將這兩個數字相乘的問題。 因為函數結果在這里被緩存，所以緩存中每個值的工作最多只能完成一次。 由於緩存大小為O（n），因此需要花費O（n）時間來填充。

對於在每個函數中完成的工作，有一個循環經歷O（n）次迭代。 將這些相乘得出O（n ² ）的估計值，這是通過粗略估計而產生的（輸入值加倍導致所花費的時間大約翻了四倍）。

Answer 2

只需遞歸思考計算復雜性。 要做到這一點，只需考慮25個硬幣的數量，然后考慮其他硬幣的數量。 如果T(n,i)顯示用最后i個denoms表示n的方式的數量，我們將得到T(n,4) = T(n-25, 3) + T(n - 2 * 25, 3) + ... + T(n - n//25 * 25, 3) denoms T(n,4) = T(n-25, 3) + T(n - 2 * 25, 3) + ... + T(n - n//25 * 25, 3) n//25表示的整數除法n ）。 現在，我們可以重復這一過程， 10 ， 5 ，和1分別。

因此，尋找緊密結合的復雜性，你可以假設n是整除25 ， 10 ，和5多次獲得最壞的情況和嚴格的分析。

因此，嚴格的分析是：

T(n,4) = sum_{i=1}^{n/25} T(n-i*25, 3)
T(n,3) = sum_{i=1}^{n/10} T(n-i*10, 2)
T(n,2) = sum_{i=1}^{n/5} T(n-i*5, 1)
T(n,1) = 1

現在，我們可以從下到上進行計算。 T(n,2) = Theta(n/5) ， T(n,3) = Theta(n/10 * n/5) ， T(n,4) = Theta(n/25 * n/10 * n/5) = Theta(n^3) 。 正如可以看到的最終結果是Theta(n^3)和不depned上的精確值的漸進的分析DEOS n或通過整除5 ， 10或25 。

此外，您的計算錯誤，因為您沒有在代碼中考慮以下條件：

if (index >= denoms.length - 1) return 1; // one denom remaining 

n的最后一次是不正確的，它是1 。