这种动态编程算法的时间复杂度是多少？

Question

我正在从一本书中学习动态编程解决方案。 我理解问题的解决方案，但我不确定解决方案的时间复杂性，本书没有提供。

我的问题：

给定无限数量的季度（25美分），硬币（10美分），镍币（5美分）和便士（1美分），编写代码来计算代表n美分的方式的数量。

我的分析：

每个输入必须经过4个“级别”，即25,10,5,1。 在第一级中，循环将执行n / 25次，在第二级中循环将执行最多（n / 25） （n / 10）次，第三级最多执行（n / 25） （n / 10） （n / 5），最后一级最多执行（n / 25） （n / 10）*（n / 5） n。 因此总运行时间为（n / 25） （n / 10）*（n / 5） n +（n / 25） （n / 10） （n / 5）+（n / 25） （n / 10） + n / 25，即O（N ^ 4）。 首先，我不确定我的归纳是否正确。 其次，如果我是对的，我想知道是否有更紧密的联系，因为在每个级别我只计算了最大时间而不是平均时间。

解决方案如下：

int makeChange(int n) {
    int[] denoms = {25, 10, 5, l};
    int[][] map = new int[n + l][denoms.length]; // precomputed 
            vals
    return makeChange(n, denoms, 0, map);
}

int makeChange(int amount, int[] denoms, int index, int[][] map) {
    if (map[amount][index] > 0) {//retrieve value
        return map[amount][index];
     }
    if (index >= denoms.length - 1) return 1; // one denom remaining
    int denomAmount denoms[index];
    int ways = 0;
    for (int i= 0; i * denomAmount <= amount; i++) {
        //go to next denom, assuming i coins of denomAmount
        int amountRemaining = amount - i * denomAmount;
        ways += makeChange(amountRemaining, denoms, index + 1, 
             map);
    }
    map[amount][index] = ways;
    return ways;
}

Answer 1

写入的算法是O（n ² ）。 分析递归函数时，可以将它们分成两部分：

1. 每个职能所做的工作
2. 工作完成的次数

那么这只是将这两个数字相乘的问题。 因为函数结果在这里被缓存，所以缓存中每个值的工作最多只能完成一次。 由于缓存大小为O（n），因此需要花费O（n）时间来填充。

对于在每个函数中完成的工作，有一个循环经历O（n）次迭代。 将这些相乘得出O（n ² ）的估计值，这是通过粗略估计而产生的（输入值加倍导致所花费的时间大约翻了四倍）。

Answer 2

只需递归思考计算复杂性。 要做到这一点，只需考虑25个硬币的数量，然后考虑其他硬币的数量。 如果T(n,i)显示用最后i个denoms表示n的方式的数量，我们将得到T(n,4) = T(n-25, 3) + T(n - 2 * 25, 3) + ... + T(n - n//25 * 25, 3) denoms T(n,4) = T(n-25, 3) + T(n - 2 * 25, 3) + ... + T(n - n//25 * 25, 3) n//25表示的整数除法n ）。 现在，我们可以重复这一过程， 10 ， 5 ，和1分别。

因此，寻找紧密结合的复杂性，你可以假设n是整除25 ， 10 ，和5多次获得最坏的情况和严格的分析。

因此，严格的分析是：

T(n,4) = sum_{i=1}^{n/25} T(n-i*25, 3)
T(n,3) = sum_{i=1}^{n/10} T(n-i*10, 2)
T(n,2) = sum_{i=1}^{n/5} T(n-i*5, 1)
T(n,1) = 1

现在，我们可以从下到上进行计算。 T(n,2) = Theta(n/5) ， T(n,3) = Theta(n/10 * n/5) ， T(n,4) = Theta(n/25 * n/10 * n/5) = Theta(n^3) 。 正如可以看到的最终结果是Theta(n^3)和不depned上的精确值的渐进的分析DEOS n或通过整除5 ， 10或25 。

此外，您的计算错误，因为您没有在代码中考虑以下条件：

if (index >= denoms.length - 1) return 1; // one denom remaining 

n的最后一次是不正确的，它是1 。