我的动态规划递归方法的时间复杂度是多少

Question

我正在研究一种获取集合“S”的 f(n) 的算法。 它被定义为

示例：f(4) = S(4) + f(3) + f(2) + f(1) + f(0)

这是我的伪代码

func solve(int k, int[] s, int[] memo)
{
    if(k==0) //base case
        return s[0]
    if(memo[k] == -1) 
    {
        var nTemp = 0 
        for(int i=0; i < k; i++) 
            nTemp = (nTemp + solve(i, s, memo)) 
        memo[k] = (nTemp + s[k]) 
    }
    return memo[k]
}

我不确定它的时间复杂度，我认为它是 O(n) 但我不确定。

Answer 1

让我们考虑从k = 1开始必须执行多少个操作solve ：

k = 1: memo[1] = s[0] + s[1] -> 1 sum
k = 2: memo[2] = memo[0] + memo[1] + s[2] -> 2 sums
...
k = m: memo[s] = memo[0] + memo[1] + ... + s[m] -> m sums  

所以实际上，操作的次数是1 + 2 + .. + k = (k + 1)*k/2 ~ k*k 。 因此，总时间复杂度为O(k^2) 。

但是，如果高达k-1值已经缓存在memo并且我们需要计算f(k)那么时间复杂度是O(k)因为它只是关于总结memo[i]使得i<k 。