这个算法的时间复杂度是多少？

Question

以下代码/算法的时间复杂度是多少？ 不应该是 O(a^2) 吗？ 我的老师说不，我需要更加努力地思考并专注于给定的限制。 有人可以帮我吗？

function(int a, int b)
{
    for(i=0; i<a; i++)
    {
        for(j=0; j<a-i; j++)
        {
            k = a-i-j;
            if(8*i+4*j+2*k == b)
                return;
        }
    }
}

约束：

• 2 a < b < 8 a

• b 总是偶数

Answer 1

代码会在找到 i, j 使得 8i+4j+2(aij)=b，即 6i+2j=b-2a 时提前停止。

j 循环从 0 到 ai，因此要使 j 在范围内，有 b-2a = 6i+2j < 6i+2(ai) = 4i+2a，即 4i > b-4a。

所以在我们有机会找到 j 之前，我们需要执行 i 循环的 (b-4a)/4 次迭代。

我会跳过细节，但是可以检查 a>=6 总是有 aj ，这样当 i 是第一个至少为 (b-4a)/4 的值时循环退出（假设 b 是偶数并且 2a< b<8a)。

计算迭代次数（并将内部循环计算为总是 a 迭代而不是 ai 迭代，这在最坏的情况下会产生 2 倍的误差），我们得到 a*max(1, b/4-a) 迭代的界限。

我在这里浏览了很多细节，但结果是复杂度是 Theta(a*max(1, b/4-a))。

Answer 2

在给定的约束条件下，假设您对最坏情况的复杂性感兴趣，它仍然是 O(a²)。 也许缺少另一个约束？

保罗的回答很好，并准确地说明了复杂性。 但是，要找到最坏情况的复杂性，您可以只展示最坏的情况。

方程 8i+4j+2k = b 重写为3i+j = b/2−a 。 因为 j < a-i，所以左侧最多为 3i+(a-i-1)，即 2i+a-1。 因为 i < a，所以最多为 2(a-1)+a-1，即 3a-3。

取最大可能的 b：b = 8a−2（同时满足两个约束：b 是偶数且 2a < b < 8a）。 等式的右侧变为 (8a-2)/2-a，即 3a-1。 这严格大于 3a-3，因此方程无解。 在这种情况下，算法会尝试所有 (i,j)，这是二次的。