如何將 2**n - 1 寫為遞歸 function？

Question

我需要一個接受 n 並返回2 ⁿ - 1的 function 。 聽起來很簡單，但是 function 必須是遞歸的。 到目前為止，我只有 2 ⁿ ：

def required_steps(n):
    if n == 0:
        return 1
    return 2 * req_steps(n-1)

練習狀態：“您可以假設參數 n 始終為正 integer 並且大於 0”

Answer 1

要使用遞歸方法解決問題，您必須了解如何使用給定的輸入定義 function，以使用不同的輸入來定義相同的 function。 在這種情況下，由於f(n) = 2 * f(n - 1) + 1 ，您可以這樣做：

def required_steps(n):
    return n and 2 * required_steps(n - 1) + 1

以便：

for i in range(5):
    print(required_steps(i))

輸出：

0
1
3
7
15

Answer 2

2**n -1也是1+2+4+...+2 ^n-1 ，它可以構成一個遞歸 function （沒有第二個從 2 的冪中減去 1）。

提示：1+2*(1+2*(...))

解決方法如下，先不要看是否要嘗試提示。

---

如果保證n大於零（正如問題陳述中實際承諾的那樣），則此方法有效：

def required_steps(n):
    if n == 1: # changed because we need one less going down
        return 1
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

更強大的版本也可以處理零值和負值：

def required_steps(n):
    if n < 0:
        raise ValueError("n must be non-negative")
    if n == 0:
        return 0
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

（添加非整數檢查留作練習。）

Answer 3

您可以將真正遞歸的部分提取到另一個 function

def f(n):
    return required_steps(n) - 1

或者您可以設置一個標志並定義何時減去

def required_steps(n, sub=True):
    if n == 0: return 1
    return 2 * required_steps(n-1, False) - sub

---

>>> print(required_steps(10))
1023

Answer 4

有一個占位符來記住 n 的原始值，然后在第一步，即n == N ，返回2^n-1

n = 10
# constant to hold initial value of n
N = n
def required_steps(n, N):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == N:
        return 2 * required_steps(n-1, N) - 1
    return 2 * required_steps(n-1, N)

required_steps(n, N)

Answer 5

對結果使用附加參數r -

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r * 2)

for x in range(6):
  print(f"f({x}) = {required_steps(x)}")

# f(0) = 0
# f(1) = 1
# f(2) = 3
# f(3) = 7
# f(4) = 15
# f(5) = 31

您也可以使用按位左移來編寫它， << -

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r << 1)

output是一樣的

Answer 6

獲得“-1”偏移量的一種方法是將其應用到第一個 function 調用的返回中，使用具有默認值的參數，然后在遞歸調用期間將偏移量參數顯式設置為零。

def required_steps(n, offset = -1):
    if n == 0:
        return 1
    return offset + 2 * required_steps(n-1,0)

Answer 7

除了前面給出的所有很棒的答案之外，下面將展示其內部函數的實現。

def outer(n):
    k=n
    def p(n):
        if n==1:
            return 2
        if n==k:
            return 2*p(n-1)-1
        return 2*p(n-1)
    return p(n)

n=5
print(outer(n))

基本上，它將全局值 n 分配給 k 並通過適當的比較遞歸它。