如何更快地迭代十個列表（每個十個元素）的笛卡爾積？ （概率和骰子）

Question

我正在努力解決這個任務。 我為此編寫了function ，它使用 itertools.product() 作為輸入迭代的笛卡爾積：

def probability(dice_number, sides, target):
    from itertools import product
    from decimal import Decimal
    FOUR_PLACES = Decimal('0.0001')
    total_number_of_experiment_outcomes = sides ** dice_number
    target_hits = 0
    sides_combinations = product(range(1, sides+1), repeat=dice_number)
    for side_combination in sides_combinations:
        if sum(side_combination) == target:
            target_hits += 1
    p = Decimal(str(target_hits / total_number_of_experiment_outcomes)).quantize(FOUR_PLACES)
    return float(p)

當調用probability(2, 6, 3)輸出為0.0556 ，所以工作正常。 但是調用probability(10, 10, 50)計算的時間很長（小時？），但必須有更好的方法:)
for side_combination in sides_combinations:需要很長時間才能遍歷大量的sides_combinations 。

拜托，你能幫我找出如何加快計算結果，我今晚太想睡覺了..

Answer 1

我想問題是要找到骰子總和的分布。 一種有效的方法是通過離散卷積。 變量總和的分布是它們的概率質量函數（或密度，在連續情況下）的卷積。 卷積是一個 n 元運算符，因此您可以方便地一次計算兩個 pmf（到目前為止總數的當前分布，以及列表中的下一個）。 然后從最終結果中，您可以讀出每個可能總數的概率。 結果中的第一個元素是最小可能總數的概率，最后一個元素是最大可能總數的概率。 在兩者之間，您可以找出哪一個對應於您正在尋找的特定總和。

最難的部分是卷積，所以首先要處理它。 這只是一個簡單的求和，但要使求和的限制正確，則有點棘手。 我的建議是使用整數或有理數，以便您可以進行精確的算術運算。

之后，您只需要為每個輸入骰子構建一個合適的 pmf。 如果您使用整數（最終必須歸一化）或 [1/n, 1/n, 1/n, ..., 1] ，則輸入僅為 [1, 1, 1, ... 1] /n] 如果有理數，其中 n = 面數。 此外，您還需要正確標記輸出的索引——同樣，要正確地做到這一點有點棘手。

卷積是一種非常通用的變量求和方法。 由於 FFT(conv(A, B)) = FFT(A) FFT(B)，因此可以通過快速傅立葉變換實現卷積來提高效率。 但在這一點上，我認為你不需要擔心。

Answer 2

如果有人仍然對通過所有 itertools.product 笛卡爾積避免非常非常長的迭代過程的解決方案感興趣，這里是：

def probability(dice_number, sides, target):
    if dice_number == 1:
        return (1 <= target <= sides**dice_number) / sides
    return sum([probability(dice_number-1, sides, target-x) \
                        for x in range(1,sides+1)]) / sides

但是你應該添加probability函數結果的緩存，如果你不這樣做 - 概率的計算也需要非常非常非常長的時間）

PS 這個代碼 100% 不是我的，我從互聯網上拿來的，我自己制作它不是那么聰明，希望你和我一樣喜歡它。