當樣本中的 prob 參數總和小於/大於 1 時會發生什么？

Question

我們知道sample中的prob參數用於分配權重的概率。

例如，

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.4, 0.3, 0.1)))/1e6

#  1   2   3   4 
#0.2 0.4 0.3 0.1 


table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.4, 0.3, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.200 0.400 0.299 0.100 

在這個例子中，概率之和正好是 1 (0.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1)，因此它給出了預期的比率，但如果概率之和不為 1 呢？ 它會給出什么輸出？ 我認為這會導致錯誤，但它提供了一些價值。

當概率總和大於 1 時。

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.5, 0.5, 0.1)))/1e6

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3839 0.3848 0.0768 

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.5, 0.5, 0.1)))/1e6

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3842 0.3848 0.0767 

當概率總和小於 1 時

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.1, 0.1, 0.5, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.124 0.125 0.625 0.125 

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.1, 0.1, 0.5, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.125 0.125 0.625 0.125 

正如我們所看到的，多次運行會給出不等於prob的輸出，但結果也不是隨機的。 在這種情況下，數字是如何分布的？ 它在哪里記錄？

我嘗試在互聯網上搜索，但沒有找到任何相關信息。 我查看了?sample的文檔，其中有

可選的 prob 參數可用於給出權重向量，以獲取被采樣向量的元素。 它們的總和不必為 1，但它們應該是非負數且不能全為零。 如果 replace 為真，則當存在超過 200 個合理可能值時使用 Walker 的別名方法 (Ripley, 1987)：這會產生與 R < 2.2.0 中的結果不兼容的結果。

所以它說prob參數不需要總和為 1，但沒有說明當它總和不為 1 時預期是什么？ 我不確定我是否遺漏了文檔的任何部分。 有人有任何想法嗎？

Answer 1

好問題。 文檔對此不清楚，但可以通過查看源代碼來回答這個問題。

如果您查看 R 代碼， sample總是調用另一個 R 函數sample.int如果您將單個數字x傳遞給sample ，它將使用sample.int創建一個小於或等於該數字的整數向量，而如果x是一個向量，它使用sample.int生成小於或等於length(x)的整數樣本，然后使用它來對 x 進行子集化。

現在，如果您檢查函數sample.int ，它看起來像這樣：

function (n, size = n, replace = FALSE, prob = NULL, useHash = (!replace && 
    is.null(prob) && size <= n/2 && n > 1e+07)) 
{
    if (useHash) 
        .Internal(sample2(n, size))
    else .Internal(sample(n, size, replace, prob))
}

.Internal意味着任何采樣都是通過調用用 C 編寫的編譯代碼完成的：在這種情況下，它是函數do_sample ， 在 src/main/random.c 中定義。

如果您查看此 C 代碼， do_sample檢查它是否已傳遞一個prob向量。 如果不是，則在相等權重的假設下進行采樣。 如果prob存在，該函數確保它是數字而不是 NA。 如果prob通過這些檢查，則會生成一個指向底層雙精度數組的指針，並將其傳遞給 random.c 中名為FixUpProbs另一個函數，在此處定義。

此函數檢查prob每個成員，如果prob任何元素不是正有限雙精度數，則拋出錯誤。 然后它通過將每個數字除以所有數字的總和來標准化這些數字。 因此，對於代碼中固有的prob總和為 1，根本沒有偏好。 也就是說，即使輸入中的prob總和為 1，該函數仍會計算總和並將每個數字除以它。

因此，該參數命名不當。 正如這里的其他人指出的那樣，它應該是“權重”。 公平地說，文檔只說prob應該是權重向量，而不是絕對概率。

所以我閱讀代碼的prob參數的行為應該是：

1. prob可以完全不存在，在這種情況下，采樣默認為相等的權重。
2. 如果任何prob的數字小於零，或者是無限的，或者不適用，該函數將拋出。
3. 如果任何prob值不是數字，則應拋出錯誤，因為它們將在傳遞給 C 代碼的 SEXP 中解釋為NA 。
4. prob的長度必須與x相同，否則 C 代碼會拋出
5. 如果您指定了replace=T ，您可以將零概率作為prob一個或多個元素傳遞，只要您至少有一個非零概率。
6. 如果指定replace=F ，則請求的樣本數必須小於或等於prob的非零元素數。 本質上，如果您要求它以零概率進行采樣， FixUpProbs會拋出FixUpProbs 。
7. 一個有效的prob向量將被歸一化為總和為 1 並用作采樣權重。

作為這種行為的一個有趣的副作用，如果您通過設置 probs = c(1, odds)在 2 個備選方案之間進行選擇，則這允許您使用賠率而不是概率

Answer 2

如前所述，權重被歸一化為總和為 1，可以證明：

> x/sum(x)
[1] 0.15384615 0.38461538 0.38461538 0.07692308

這與您的模擬表格數據相匹配：

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3839 0.3848 0.0768