使用圖靈約簡證明一種語言是不可判定的

Question

我需要證明語言L(EVEN) = { M : |L(M)| is even } L(EVEN) = { M : |L(M)| is even }是不可判定的。

換句話說，語言L(EVEN)是所有接受某種偶數基數語言的圖靈機的集合。

這里， M是某個圖靈機的編碼，如果存在L(EVEN)的判定器，它將作為輸入傳入。

我已經使用圖靈歸約完成了與此類似的其他問題，可以在此處看到一個示例：

我的問題是我無法想出一些以前證明的不可判定的語言來顯示L <= L(EVEN) 。

到目前為止，我們在課堂上介紹的不可判定語言如下：

- L(emptyset) = { M | M is a TM and |L(M)| = emptyset}  
- L(ACC) = { (M, x) | M is a TM, and M accepts input x}  
- L(HALT) = { (M, x) | M is a TM, and M halts on input x}  
- L(EQ) = { (M1, M2) | M1, M2 are TMs, and L(M1) == L(M2) }  
- L(∈ - HALT) = { M | M is a TM, M halts on input ∈ } 

我也可以使用這些語言的補充，因為可判定性在補充下是封閉的。 我如何使用這些不可判定的語言之一來證明 L(EVEN) 也是不可判定的，使用與我包含的示例問題類似的設置？

Answer 1

假設我們有一個 L(EVEN) 的判定器。 然后，我們可以決定 L(ACC) 如下：

從輸入 M 到 L(ACC) 的 TM，構造一個 TM M'，它首先驗證輸入磁帶是 M 的輸入 x，然后在 x 上運行 M。 如此構造的 M' 要么接受語言 {x}，如果 M 接受 x，或者如果 M 不接受，則為空語言。

通過在 M' 的編碼上使用 L(EVEN) 的判定器，我們可以判斷 |L(M')| 是偶數（在這種情況下 L(M') 為空且 M 不接受 x）或奇數（在這種情況下 L(M') = {x} 且 M 接受 x）。