使用 matplotlib.pyplot 和 numpy 在 python 中顯示 Mandelbrot 集

Question

我正在嘗試獲取 Mandelbrot 集的圖，但在繪制預期圖時遇到問題。

據我了解，Mandelbrot 集由值 c 組成，如果通過以下等式 z = z**2 + c 進行迭代，這些值會收斂。 我使用了 z = 0 的初始值。

最初，我得到了一條直線。 我在網上尋找解決方案，看看我哪里出錯了。 特別是使用以下鏈接，我試圖改進我的代碼：

https://scipy-lectures.org/intro/numpy/auto_examples/plot_mandelbrot.html

這是我改進的代碼。 我真的不明白使用 np.newaxis 的原因以及為什么我要繪制收斂的最終 z 值。 我誤解了 Mandelbrot 集的定義嗎？

# initial values 
loop = 50 # number of interations
div = 600 # divisions
# all possible values of c
c = np.linspace(-2,2,div)[:,np.newaxis] + 1j*np.linspace(-2,2,div)[np.newaxis,:] 
z = 0 
for n in range(0,loop):
      z = z**2 + c

plt.rcParams['figure.figsize'] = [12, 7.5]
z = z[abs(z) < 2] # removing z values that diverge 
plt.scatter(z.real, z.imag, color = "black" ) # plotting points
plt.xlabel("Real")
plt.ylabel("i (imaginary)")
plt.xlim(-2,2)
plt.ylim(-1.5,1.5)
plt.savefig("plot.png")
plt.show()

並得到了以下圖像，它看起來比我目前得到的任何圖像都更接近 Mandelbrot 集。 但它看起來更像是一只海星，周圍散布着點。 圖片

作為參考，這是我改進前的初始代碼：

# initial values 
loop = 50
div = 50
clist = np.linspace(-2,2,div) + 1j*np.linspace(-1.5,1.5,div) # range of c values 
all_results = []

for c in clist: # for each value of c
    z = 0 # starting point
    for a in range(0,loop): 
        negative = 0 # unstable

        z = z**2 + c 

        if np.abs(z) > 2: 
            negative +=1
        if negative > 2: 
            break

    if negative == 0:
        all_results.append([c,"blue"]) #converging
    else:
        all_results.append([c,"black"]) # not converging

Answer 1

該圖看起來不正確，因為在問題中的代碼中繪制了z （即迭代變量）。 迭代z = z*z + c ，Mandelbrot集是由那些真實的，的虛部對給定c ，為此，該系列不發散。 因此，如下所示對代碼的小改動給出了正確的 Mandelbrot 圖：

import pylab as plt
import numpy as np
# initial values 
loop = 50 # number of interations
div = 600 # divisions
# all possible values of c
c = np.linspace(-2,2,div)[:,np.newaxis] + 1j*np.linspace(-2,2,div)[np.newaxis,:] 
z = 0 
for n in range(0,loop):
      z = z**2 + c

plt.rcParams['figure.figsize'] = [12, 7.5]
p = c[abs(z) < 2] # removing c values for which z has diverged 
plt.scatter(p.real, p.imag, color = "black" ) # plotting points
plt.xlabel("Real")
plt.ylabel("i (imaginary)")
plt.xlim(-2,2)
plt.ylim(-1.5,1.5)
plt.savefig("plot.png")
plt.show()

Answer 2

或者，對問題中的代碼進行另一個小改動，可以使用z的值來為繪圖着色。 可以存儲n的值，其中系列的絕對值變得大於 2（意味着它發散），並用它為 Mandelbrot 集之外的點着色：

import pylab as plt
import numpy as np
# initial values 
loop = 50 # number of interations
div = 600 # divisions
# all possible values of c
c = np.linspace(-2,2,div)[:,np.newaxis] + 1j*np.linspace(-2,2,div)[np.newaxis,:] 
# array of ones of same dimensions as c
ones = np.ones(np.shape(c), np.int)
# Array that will hold colors for plot, initial value set here will be
# the color of the points in the mandelbrot set, i.e. where the series
# converges.
# For the code below to work, this initial value must at least be 'loop'.
# Here it is loop + 5
color = ones * loop + 5
z = 0
for n in range(0,loop):
      z = z**2 + c
      diverged = np.abs(z)>2
      # Store value of n at which series was detected to diverge.
      # The later the series is detected to diverge, the higher
      # the 'color' value.
      color[diverged] = np.minimum(color[diverged], ones[diverged]*n)

plt.rcParams['figure.figsize'] = [12, 7.5]
# contour plot with real and imaginary parts of c as axes
# and colored according to 'color'
plt.contourf(c.real, c.imag, color)
plt.xlabel("Real($c$)")
plt.ylabel("Imag($c$)")
plt.xlim(-2,2)
plt.ylim(-1.5,1.5)
plt.savefig("plot.png")
plt.show()