為什么 Dikstra 算法運行在 O(V + E log V) 而不是 O(V ^ 2)？

Question

其中V是頂點數，E 是邊數，在最壞的情況下，所有節點都是連接的，並且在每個節點上，您會查看所有其他節點。 那不就是O(V ^ 2)嗎？ 我查了一下，發現其實是O(V + E log V) ，但是沒有解釋。

Answer 1

不，根據此處，Dijkstra 使用斐波那契堆作為優先級隊列的最佳實現以O(|E|+|V|*log|V|) 。 請記住，在密集圖中， |E| 是O(|v|^2) ， O(|E|+|V|*log|V|)變得等於O(|V|^2) ，這是算法的最壞情況，但在任何情況下這些情況下它在O(|V|+|E|log|V|) 。

Answer 2

您的分析忽略了優先隊列的成本。 不過，你也不是完全錯了。

它需要 O(|E|) 次減少鍵操作，因為您訪問的幾乎每條邊都可能會這樣做，並且需要 O(|V|) 次刪除最小操作，因為您必須這樣做才能將頂點從隊列中取出。

如果您使用斐波那契堆作為優先隊列，則減少鍵需要恆定時間，但刪除分鍾需要 O(log |V|) 時間，因此您得到 O(|E| + |V| log |V|) . 就 |V| 而言只有，|E| 被替換為 O(|V| ² )，因為它可能會變得那么高，並且支配着 |V| 日志 |V| 項給出 O(|V| ² ) 的總復雜度。

所以如果你想給 |V| 一個界限，你是對的僅，但在 |V| 方面給出了一個界限和 |E| 分開是首選，因為它傳達了更多的信息。 它告訴您對於稀疏圖，它比 O(|V| ² ) 快，這可能很重要。

請注意，您查找的 O(V + E log V) 用於使用不同類型的優先級隊列（如二元堆）而不是斐波那契堆的實現。 這在實踐中很常見。

Answer 3

您只考慮全連接圖的情況。 big-O 表示法適用於給定某些輸入參數的最壞情況，並且由於給定的復雜性使用 V 和 E，這意味着全連接圖無關緊要。 對於一般的圖形，Dijkstra 算法將在 O(V+ElogV) 或更快的速度上完成； 對於全連接圖，當 E 大約為 (V^2)/2 時，它將在 O(V^2) 內完成，這確實比 O(V+((V^2)/2)logV) 快。