为什么 Dikstra 算法运行在 O(V + E log V) 而不是 O(V ^ 2)？

Question

其中V是顶点数，E 是边数，在最坏的情况下，所有节点都是连接的，并且在每个节点上，您会查看所有其他节点。 那不就是O(V ^ 2)吗？ 我查了一下，发现其实是O(V + E log V) ，但是没有解释。

Answer 1

不，根据此处，Dijkstra 使用斐波那契堆作为优先级队列的最佳实现以O(|E|+|V|*log|V|) 。 请记住，在密集图中， |E| 是O(|v|^2) ， O(|E|+|V|*log|V|)变得等于O(|V|^2) ，这是算法的最坏情况，但在任何情况下这些情况下它在O(|V|+|E|log|V|) 。

Answer 2

您的分析忽略了优先队列的成本。 不过，你也不是完全错了。

它需要 O(|E|) 次减少键操作，因为您访问的几乎每条边都可能会这样做，并且需要 O(|V|) 次删除最小操作，因为您必须这样做才能将顶点从队列中取出。

如果您使用斐波那契堆作为优先队列，则减少键需要恒定时间，但删除分钟需要 O(log |V|) 时间，因此您得到 O(|E| + |V| log |V|) . 就 |V| 而言只有，|E| 被替换为 O(|V| ² )，因为它可能会变得那么高，并且支配着 |V| 日志 |V| 项给出 O(|V| ² ) 的总复杂度。

所以如果你想给 |V| 一个界限，你是对的仅，但在 |V| 方面给出了一个界限和 |E| 分开是首选，因为它传达了更多的信息。 它告诉您对于稀疏图，它比 O(|V| ² ) 快，这可能很重要。

请注意，您查找的 O(V + E log V) 用于使用不同类型的优先级队列（如二元堆）而不是斐波那契堆的实现。 这在实践中很常见。

Answer 3

您只考虑全连接图的情况。 big-O 表示法适用于给定某些输入参数的最坏情况，并且由于给定的复杂性使用 V 和 E，这意味着全连接图无关紧要。 对于一般的图形，Dijkstra 算法将在 O(V+ElogV) 或更快的速度上完成； 对于全连接图，当 E 大约为 (V^2)/2 时，它将在 O(V^2) 内完成，这确实比 O(V+((V^2)/2)logV) 快。