使用鄰接矩陣從樹中區分圖

Question

給定一個鄰接矩陣，有沒有辦法確定圖是樹還是圖（是否有環）。

例如，給定鄰接矩陣：

0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 0

這不是樹，因為頂點 1、頂點 2 和頂點 4 之間存在循環。

而給定鄰接矩陣：

0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1
1 1 1 0

這是一棵樹，因為沒有循環。

解決這個問題的一種方法是執行 BFS，但我認為圖的鄰接矩陣和樹的鄰接矩陣之間可能存在視覺差異。

任何幫助，將不勝感激！

Answer 1

您可以使用具有 N 個節點的樹恰好具有 N-1 條邊的事實。 任何表示樹的鄰接矩陣都將恰好有 2(N-1) 個 1，因為每個邊在矩陣中設置兩位（對角線上沒有 1，因為樹沒有自邊）。 此外，由於樹必須連接，因此每行和每列必須至少有一個 1。 如果允許您假設對角線對稱（即它是一個有效的鄰接矩陣），那么每行至少檢查一個 1 就足夠了。

但是，這些只是初步檢查，我認為沒有一種簡單的方法可以在沒有 BFS 或類似的情況下實際顯示連接性。