如何通過 Python 重新排列一個復雜的方程

Question

我想使用 Python 為變量r重新排列下面的等式。

P = C * ((1-(1+r)**(-n)))/r + fv*(1+r)**(-n)
to
r = blabla...

我知道 sympy 與這樣的重新安排任務有關。 所以，我寫了下面的代碼。

# Solve the equation for r
import sympy
from sympy import symbols

P, C, r, n, fv = sympy.symbols('P C r n fv')
eq = sympy.Eq(P, C * ((1-1/(1+r)**n))/r + fv/(1+r)**n)
sympy.solve(eq, r)

但是，我得到了這樣的錯誤。

NotImplementedError                       Traceback (most recent call last)
<ipython-input-47-a183add313da> in <module>
      3 P, C, r, n, fv = sympy.symbols('P C r n fv')
      4 eq = sympy.Eq(P, C * ((1-1/(1+r)**n))/r + fv/(1+r)**n)
----> 5 sympy.solve(eq, r)

~\Anaconda3\lib\site-packages\sympy\solvers\solvers.py in solve(f, *symbols, **flags)
   1169     ###########################################################################
   1170     if bare_f:
-> 1171         solution = _solve(f[0], *symbols, **flags)
   1172     else:
   1173         solution = _solve_system(f, symbols, **flags)

~\Anaconda3\lib\site-packages\sympy\solvers\solvers.py in _solve(f, *symbols, **flags)
   1740 
   1741     if result is False:
-> 1742         raise NotImplementedError('\n'.join([msg, not_impl_msg % f]))
   1743 
   1744     if flags.get('simplify', True):

NotImplementedError: multiple generators [r, (r + 1)**n]
No algorithms are implemented to solve equation -C*(1 - (r + 1)**(-n))/r + P - fv*(r + 1)**(-n)

我猜想 sympy 無法計算功率。 你知道如何對方程執行這種復雜的重排嗎？ 我正在使用 Python==3.7，sympy==1.4。

Answer 1

這不是一個簡單的方程來解決。 不過，這與功率計算無關，只是方程太復雜，sympy 無法求解 r。

但是，如果其他變量有特定值並且您需要求解 r（即為非平凡方程找到零），則可以使用數值求解器：nsolve

# Solve the equation for r
from sympy import var, Eq, solve

var('C, r, n, fv, P', positive = True)

# this throws an error: no algorithms are implemented to solve equation
equation = Eq(P, C * ((1-1/(1+r)**n))/r + fv/(1+r)**n)

# a simple calculation for power works fine
equation = Eq(P, (1+r)**n)
solve(equation, r)

Answer 2

您要解決的方程式是：

In [23]: eq                                                                                                                       
Out[23]: 
      ⎛           -n⎞               
    C⋅⎝1 - (r + 1)  ⎠             -n
P = ───────────────── + fv⋅(r + 1)  
            r 

我們可以將它重新排列成這樣的多項式

In [24]: eq2 = Eq(eq.lhs * (1+r)**n * r, eq.rhs * (1+r)**n * r).expand()                                                          

In [25]: eq2                                                                                                                      
Out[25]: 
           n            n           
P⋅r⋅(r + 1)  = C⋅(r + 1)  - C + fv⋅r

現在我們看到這是一個多項式，只是指數n是符號的。 一般來說，這種方程不會有一個可以用封閉形式表達的解——這就是為什么 sympy 沒有針對這種特殊情況的算法（它不是 sympy 本身的限制）。

可以對這個方程進行數值求解，但只有當我們對每個參數都有數值時，數值求解才有效。 如果我們用數字代替參數，那么nsolve可以用數字找到解：

In [26]: eq3 = eq.subs({P:1, C:2, fv:1, n:100})                                                                                   

In [27]: eq3                                                                                                                      
Out[27]: 
                   ⎛        1     ⎞
                 2⋅⎜1 - ──────────⎟
                   ⎜           100⎟
        1          ⎝    (r + 1)   ⎠
1 = ────────── + ──────────────────
           100           r         
    (r + 1)                        

In [28]: nsolve(eq3, r, 1)                                                                                                        
Out[28]: 2.00000000000000

但請注意，此方程的解不是唯一的，例如 -2 也是這里的解：

In [52]: nsolve(eq3, r, -1.9)                                                                                                     
Out[52]: -2.00000000000000

這個特殊的方程有大約 100 個根，但不一定都是實數。