在 Coq 中提供示例，其中 (AB: Prop), P: Prop -> Type，這樣 A <-> B，但不能用 PB 替換 PA

Question

正如標題所要求的，我希望舉一個例子：

Section Question:
Definition A: Prop := <whatever you like>.
Definition B:Prop := <whatever you like>.
Definition/Inductive/Fixpoint P: Prop -> Type := <whatever you like>.

Theorem AEquivB: A <-> B.
Proof. <supply proof here>. Qed.

(* Question 1. can we pick a P, A, B to prove this? *)
Theorem PA_not_equals_Pb: P A <> P B.
Proof. <supply proof here>. Qed.

(* Question 1.5. can we pick a P, A, B to prove this? *)
Theorem PA_not_equiv_PB: ~(P A <-> P B)
Proof. <supply proof here>. Qed.  

一般來說，我有興趣了解“證明等價”是否“足夠好”以在某種意義上用作“平等”，或者是否存在我們可以有PA和A <-> B但不是PB的情況.

Answer 1

與 Coq 一致的是forall AB: Prop, (A <-> B) -> A = B 。 （也就是說，您可以將其添加為公理，並且理論不會崩潰。）此公理稱為命題外延。 由於A = B很快給出了forall P: Prop -> Prop, PA <-> PB ，因此沒有術語P 、 A 、 B滿足(A <-> B) /\ ~(PA <-> PB) ，因為這會與公理相矛盾，但我們知道它是一致的。 同樣，我們也很快得到PA = PB ，這意味着我們不能同時得到PA <> PB 。 請注意，即使不存在違反命題外延性的P 、 A 、 B ，我們仍然無法證明命題外延性。 Coq 根本沒有能力像那樣談論它自己（這很好，因為這意味着你可以自定義它），這就是為什么如果你想要它需要添加命題外延性作為公理。