使用自然數上的遞歸測試 Haskell 中的數論函數

Question

我正在使用遞歸實現一些數論函數作為 Haskell 中的冪運算。 我正在使用 QuickCheck 庫來測試我的實現。 為了簡化我的測試，我使用基礎庫中的 Natural 數據類型、在 quickcheck-instances 庫中定義的 Natural 的任意實例以及以下函數分別從 Nat 轉換為 Natural 和從 Natural 轉換為 Nat，考慮到數據Nat由我自己定義：

data Nat = Zero | Succ Nat

natToNatural :: Nat -> Natural
natToNatural Zero = 0
natToNatural (Succ n) = 1 + natToNatural n

naturalToNat :: Natural -> Nat
naturalToNat 0 = Zero
naturalToNat n = Succ (naturalToNat (n - 1))

實現在自然數上使用以下遞歸：

recNat :: a -> (Nat -> a -> a) -> Nat -> a
recNat a _ Zero     = a
recNat a h (Succ n) = h n (recNat a h n)

我的取冪的 function 是

expR :: Nat -> Nat -> Nat
expR m n = recNat (Succ Zero) (\ _ y -> multR m y) n

我使用 Natural 的冪來定義 prop_Exp 屬性

prop_Exp :: Natural -> Natural -> Bool
prop_Exp m n = natToNatural (expR m' n') == m ^ n
  where
    m' :: Nat
    m' = naturalToNat m

    n' :: Nat
    n' = naturalToNat n

通過 QuickCheck 測試我對 expR function 的實現

main :: IO ()
main = quickCheck prop_expR

但是，運行此代碼后，我得到一個異常：

*** Exception: stack overflow

我想知道這段代碼有什么問題

Answer 1

正如chi所說， Nat類型將數字表示為遞歸數據結構。 我認為它與[()]同構，但我可能會誤會......

AFAICT，轉換函數以及recNat都不是尾遞歸的，因此當使用10^10之類的東西時，它們會為數十億個元素構建 thunk。 較大的數字會導致堆棧溢出，這並不奇怪。

您可以告訴 QuickCheck 限制生成的值的范圍。 choose function 是該問題的通用解決方案，但 AFAICT Natural沒有Random實例。 相反，您也許可以使用chooseEnum ，因為Natural確實有一個Enum實例。

幾年前，我也以類似的方式涉足自然數（和相關的想法） 。 這是我寫的乘法屬性：

testProperty "Multiplication" $ do
  x <- choose @Integer (0, 25)
  y <- choose (0, 25)
  return $ x * y === toNum (multiplyF (fromNum x) (fromNum y))

因為我使用了choose ，所以我沒有將我的 QuickCheck 屬性基於Natural 。 這使我能夠告訴 QuickCheck 只選擇大於0的數字。 對於乘法，我必須將整數限制為小於25 ，但對於其他屬性，我選擇了更大的范圍：

testProperty "Increment" $ do
  i <- choose @Integer (0, 1e4)
  return $ i + 1 === toNum (incF (fromNum i))

已經好幾年了，所以我不記得為什么我選擇了這些特定的數字。 當時我使用的是一台較舊的筆記本電腦，但我不記得更高的數字是否導致我的進程溢出，或者僅僅是測試運行得太慢。