嵌套 2 次的 for 循環的時間復雜度是多少？

Question

所以估計時間復雜度的算法是這樣的

int a = 0;
for (i = 0; i < n; i++)   //runs from i-n;
    for (j = i; j < i * i; j++) // runs from i - i*i;
        for (k = 0; k < j; k++) //runs from 0 - j;
            a++;

我已經評論了我對算法的理解的基本細節。

外循環明顯運行 O(n) 次，第一個內循環從 'i' 運行到 'i*i'

第二個內部循環運行 '0' 到 'j'

我也知道我必須應用產品規則。

但我無法計算兩個內部循環相對於“n”的時間復雜度。

如果我的解釋有誤，請糾正我。

Answer 1

每當有疑問時，請始終使用數學，因為數學證明像強烈的直覺一樣更可口。

讓n = 輸入的大小。

最里面的循環或者讓我們調用它作為第三個循環運行j+1次。

內部循環或第二個循環運行i*i - i次。

最后，外循環n次。

因此，整個程序的迭代次數可以用數學術語表示，如下圖所示：

Answer 2

當您有多個級別的 for 循環時，請單獨分析每個循環的復雜性，然后將它們相乘。

在這個例子中，第一個循環的復雜度是O(n) ，就像你說的那樣。

第二個循環的復雜性是O(n^2)因為在最壞的情況下，您必須執行的操作數量是i*i的數量級，可能與n^2一樣大。 它不從零開始也沒關系，因為在像O(n^2 - n)這樣的表達式中，除了最高階項之外的所有內容都會被忽略。

第三個循環也需要O(n^2) ，因為在最壞的情況下，您可以擁有盡可能多的j操作，並且再次可能與n^2一樣大。

最后a++在恆定時間內發生。 將所有內容相乘，您的復雜度為O(n^5) 。