Coq：Ltac 表示蘊涵的傳遞性（又名假設三段論）

Question

這個問題是關於我正在做的一個項目，即在 Coq 中編碼Principia Mathematica 。 Principia推導出了推理規則，其中之一是 Syll：

∀ PQR : Prop, P→Q, Q→R : P→R

我正在嘗試創建一個 Ltac 腳本來編寫 Syll 推理形式。 以下來自 ( Chlipala 2019 ) 的 MP 策略非常有效：

Ltac MP H1 H2 :=
  match goal with 
    | [ H1 : ?P -> ?Q, H2 : ?P |- _ ] => specialize (H1 H2)
end.

這里我認為“=>”右邊的策略專門用於H1到H2的應用。 現在相關的 Syll 策略不起作用：

Ltac Syll H1 H2 :=
  match goal with 
     | [ H1 : ?P -> ?Q, H2 : ?Q -> ?R |- _ ] =>
        specialize Syll2_06 with ?P ?Q ?R;
        intros Syll2_06;
        apply Syll2_06;
        apply H1;
        apply H2
end.

我在應用它時遇到的錯誤（在下面的示例中）是：

沒有匹配的匹配子句。

我不確定為什么這是由此產生的錯誤。 引進經典邏輯，證明為定理Syll2_06，即(P→Q)→((Q→R)→(P→R))。 事實上，基本上是 Syll Ltac 應用於定理 Trans2_16 的證明（見下文）。 所以我不確定為什么將代碼轉換為 Ltac 腳本不起作用。

也許我誤解了 Ltac 比賽正在做什么，以及“=>”右側的策略應該是什么。 但是根據查看Coq 手冊，可能是策略的左側是問題，可能是因為 H1 不適用於 H2。

進一步的建議，特別是解釋 Ltac 和/或我的想法錯誤的建議，將不勝感激。

Theorem Syll2_06 : ∀ P Q R : Prop,
  (P → Q) → ((Q → R) → (P → R)).
    
Ltac Syll H1 H2 :=
  match goal with 
     | [ H1 : ?P -> ?Q, H2 : ?Q -> ?R |- _ ] =>
        specialize Syll2_06 with ?P ?Q ?R;
        intros Syll2_06;
        apply Syll2_06;
        apply H1;
        apply H2
end. 
    
Ltac MP H1 H2 :=
  match goal with 
    | [ H1 : ?P -> ?Q, H2 : ?P |- _ ] => specialize (H1 H2)
end.

Theorem Trans2_16 : forall P Q : Prop,
  (P → Q) → (~Q → ~P).
Proof. intros P Q.
  specialize n2_12 with Q. intros n2_12a.
  specialize Syll2_05 with P Q (~~Q). intros Syll2_05a.
  specialize n2_03 with P (~Q). intros n2_03a.
  MP n2_12a Syll2_05a.
  specialize Syll2_06 with (P→Q)  (P→~~Q) (~Q→~P). intros Syll2_06a.
  apply Syll2_06a.
  apply Syll2_05a.
  apply n2_03a.
Qed.

Theorem Trans2_17 : forall P Q : Prop,
  (~Q -> ~P) -> (P -> Q).
Proof. intros P Q.
  specialize n2_03 with (~Q) P. intros n2_03a.
  specialize n2_14 with Q. intros n2_14a.
  specialize Syll2_05 with P (~~Q) Q. intros Syll2_05a.
  MP n2_14a Syll2_05a.
  Syll 2_03a Syll2_05a.
Qed.

Answer 1

我不確定您希望該策略如何運作。 如果我們這樣開始：

Variables P Q R S : Prop.

Goal (P -> Q) -> (S -> Q) -> (Q -> R) -> P -> R.
  intros A B C.

那么目標是：

  A : P -> Q
  B : S -> Q
  C : Q -> R
  ============================
  P -> R

你想讓Syll AC做什么？

它應該解決目標嗎？ 是否應該將C修改為R ？ 它是否應該在上下文中添加一個P -> R類型的新術語（即名為D ）？

例如，如果您想要一種策略來解決目標，則可以使用apply ：

Ltac Syll H1 H2 :=
  match goal with 
  | [ H1 : ?P -> ?Q, H2 : ?Q -> ?R |- ?P -> ?R ] =>
    intros p; apply (H2 (H1 p))
  end.

如果你想在上下文中添加一個新術語，你可以用assert構造它：

Ltac Syll H1 H2 N:=
  match goal with 
  | [ H1 : ?P -> ?Q, H2 : ?Q -> ?R |- ?P -> ?R ] =>
    assert (N: P -> R) by (intros p; apply (H2 (H1 p)))
  end.

另請注意，如果Syll不將H1和H2作為參數，Coq 將自行找到用於構造證明的假設。