Agda：std-lib：列表：除了最后一個元素之外的所有元素與 snoc

Question

我以這種方式定義allButLast ：

allButLast : ∀ {a} {A : Set a} → List A → List A
allButLast l.[] = l.[]
allButLast list = l.reverse (tail' (l.reverse list))

並想證明以下陳述：

allButLast-∷ʳ :
  ∀ {a} {A : Set a} →
    (list : List A) →
      (y : A) →
        allButLast (list ∷ʳ y) ≡ list
allButLast-∷ʳ []       y = refl
allButLast-∷ʳ (x ∷ []) y = refl
allButLast-∷ʳ (x ∷ xs) y =
  begin
    allButLast ((x ∷ xs) ++ [ y ])
  ≡⟨⟩
    reverse (tail' (reverse ((x ∷ xs) ∷ʳ y)))
  ≡⟨ ? ⟩
    reverse (tail' (y ∷ reverse (x ∷ xs)))
  ≡⟨⟩
    reverse (reverse (x ∷ xs))
  ≡⟨ reverse-involutive (x ∷ xs) ⟩
    (x ∷ xs)
  ∎

我需要在哪里找到要替換的東西? 和。

我定義：

reverse-∷ʳ :
  ∀ {a} {A : Set a} →
    (list : List A) →
      (n : A) →
        reverse (list ∷ʳ n) ≡ n ∷ reverse list

我能夠證明這一點。

我想用它作為reverse-∷ʳ (x ∷ xs) y來替換? 但是，我收到以下錯誤：

x ∷ [] != [] of type List A
when checking that the expression reverse-∷ʳ (x ∷ xs) y has type
reverse (tail' (reverse ((x ∷ xs) ∷ʳ y))) ≡
reverse (tail' (y ∷ reverse (x ∷ xs)))

我不確定如何解釋它。 這是因為我在應用reverse-∷ʳ (x ∷ xs) y時沒有涵蓋案例x ∷ []嗎？

Answer 1

我建議以下解決方案：

allButLast : ∀ {a} {A : Set a} → List A → List A
allButLast [] = []
allButLast (_ ∷ []) = []
allButLast (x ∷ x₁ ∷ l) = x ∷ (allButLast (x₁ ∷ l))

allButLast-∷ʳ : ∀ {a} {A : Set a} {l : List A} {x} → allButLast (l ∷ʳ x) ≡ l
allButLast-∷ʳ {l = []} = refl
allButLast-∷ʳ {l = _ ∷ []} = refl
allButLast-∷ʳ {l = x ∷ x₁ ∷ l} = cong (x ∷_) (allButLast-∷ʳ {l = x₁ ∷ l})

---

一段時間以來，您在#Agda 中問了很多問題，這完全沒問題。 但是，不要采取錯誤的方式，您絕對應該嘗試了解您在做什么，而不是一次又一次地問類似的問題。 在我看來，您似乎不太了解如何在 Agda 中編寫定義或證明，僅僅是因為您沒有花足夠的時間來嘗試了解所有這些是如何工作的。 例如，您的先例問題表明您還不太了解函數和構造函數之間的區別，以及模式匹配。 此外，您總是嘗試使用鏈式等式來證明您的目標，即使在大多數情況下，對您正在處理的數據（主要是列表和向量）進行簡單的案例拆分就足以解決您的問題。 你傾向於把事情復雜化，相信我，這不是你在 Agda 或其他證明助手中開發時想要做的，因為證明本身很快就會變得非常復雜。 我可以看到您渴望學習和提高您的 Agda 技能，所以這里有一些建議，從長遠來看，這些建議比以不正確的方式定義和證明隨機概念和屬性更有用：

• 從你的定義和證明中退后一步
• 如果它足夠簡單可以理解，請花一些時間來弄清楚證明可能是什么。
• 嘗試理解 Agda 的基本機制，如大小寫，而不是更高級的機制，如相等推理。
• 確保您不能通過對其輸入的簡單遞歸而不是更復雜/耗時的方式來證明您的引理。
• 遵循一些您可以在網上找到的教程，其中大部分在以下 wiki 頁面中重新分組 https://agda.readthedocs.io/en/v2.6.0.1/getting-started/tutorial-list.html
• 嘗試並理解（並可能自己復制）作為您在此處提出的問題的答案的證據，因為您的許多新問題實際上可以以類似的方式得到回答/解決。
• 在定義數量時，嘗試盡可能簡單地定義它們，例如查看我的allButLast定義，而不是你的定義，它使用其他復雜的 function 而不是僅僅在其輸入上遞歸定義。
• 通過編寫一些簡單的測試用例並使用CTRL-C CTRL-N評估它們，或者通過例如示例證明它們的一些非常簡單的屬性，確保您的定義確實符合您的意圖。 您之前對allButLast的定義（可以在您之前的問題中找到）實際上是列表上的身份 function ，因為您總是准確地返回輸入，通過一些測試和后退一步可以很容易地看到這一點。

總而言之，花點時間試着真正理解你在做什么，因為如果你不這樣做，你將無法在 Agda 中開發任何重要的東西。 我希望這些建議對您有所幫助，並且您不會誤以為是。 可能還有更多，但這是我可以直接想到的那些的簡要概述。