Agda: std-lib: List: 檢查過濾后的列表是否為空

Question

我有一個 function filter' ：

filter' : {A : Set} → (A → Bool) → List A → List A
filter' p []               = l.[]
filter' p (x ∷ xs) with (p x)
...                | true  = x l.∷ filter' p xs
...                | false = filter' p xs

和一個 function DeleteNat ：

DeleteNat : (List ℕ) → ℕ → (List ℕ)
DeleteNat nats id = filter' (λ n → not (n ≡ᵇ id)) nats

其中_≡ᵇ_是：

open import Agda.Builtin.Nat public
  using () renaming (_==_ to _≡ᵇ_)

並想表明在應用DeleteNat后，沒有自然數等於List中的 id ：

DeleteNatRemoveNatWithId :
  (nats : List ℕ) (id : ℕ) →
    filter' (λ n → n ≡ᵇ id) (DeleteNat nats id) ≡ l.[]
DeleteNatRemoveNatWithId []       id         = refl
DeleteNatRemoveNatWithId (x ∷ xs) id with x ≡ᵇ id
...                                  | true  = DeleteNatRemoveNatWithId xs id
...                                  | false = {!  !}

我不確定如何在{! !} {! !} . 我有一種預感，應該使用cong來完成。

使用Cc C-. 我看到我需要滿足這種類型：

(filter' (λ n → n ≡ᵇ id) (x List.∷ filter' (λ n → not (n ≡ᵇ id)) xs) | x ≡ᵇ id) ≡ List.[]

我想我需要一種方法來以某種方式將x List.∷放入第一個filter'的第二個參數中。

我能得到關於如何在這里推進的提示嗎？ 我關於使用cong的假設是錯誤的嗎？

Answer 1

filter'... (x ∷ filter'... xs) | x ≡ᵇ id) filter'... (x ∷ filter'... xs) | x ≡ᵇ id)表示這個 function 的評估卡在測試x ≡ᵇ id上。

要減少它，您通常會使用with x ≡ᵇ id 。 但是您已經這樣做了，是的，但是您with的目標是當時卡住的內部filter 。 一旦它解開，它的計算量足以發出x ∷ _並且外部filter卡在第二個測試上（恰好等於第一個）。

處理這個問題的慣用方法是通過inspect習語，它允許你在一個單一with中，不僅得到x ≡ᵇ id的結果，而且得到結果是從這個表達式計算的證明。 一旦到達外部filter卡住的點，您可以簡單地用這個方程rewrite ，然后您應該能夠看到 function 的計算剛好足以調用歸納假設。