如何構建 SOCP 問題並使用 cvxpy 和 cvxpylayers 解決

Question

我正在嘗試使用cvxpy解決 SOCP 問題並將其集成到cvxpylayers 。 我正在查看這個SOCP 問題（問題 11 ）（ 這是 scihub 鏈接，以防您無法訪問），這是問題的一個片段（注意min (pt)來自使用表達式對問題 4的改編8在上面的鏈接中）：

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老的

我看過這個例子，但仍然卡住了，無法解決問題。 這是我嘗試的示例代碼：

import cvxpy as cp
import numpy as np

N = 5

Q_sqrt = cp.Parameter((N, N))
x = cp.Variable(N)

z = []
zero = []
for n in range(N):
    z.append((Q_sqrt @ x)[n])
    zero.append(cp.Constant(0))
    
p = cp.sqrt(cp.sum_squares(Q_sqrt @ x)/N) # based on expression 8
t = cp.sqrt(cp.min(x * (Q_sqrt @ x)))     # based on expression 8

objective = cp.Minimize(p - t)            # based on expression 8

constraint_soc1 = [cp.SOC(z[n], (Q_sqrt @ x)[n]) for n in range(N)]
constraint_soc2 = [cp.SOC(cp.quad_over_lin(t, z[n]), x[n]) for n in range(N)]
constraint_soc3 = [cp.SOC(z[n], zero[n]) for n in range(N)]
constraint_soc4 = [cp.SOC(x[n], zero[n]) for n in range(N)]

constraint_other = [cp.sum_squares(Q_sqrt @ x) <= N * (p ** 2),
                    cp.sum(x) == 1, p >= 0, t >= 0]

constraint_all = constraint_other + constraint_soc1 + constraint_soc2 + constraint_soc3 + constraint_soc4

matrix = np.random.random((N, N))
Q_sqrt.value = matrix.T @ matrix # to make positive definite

prob = cp.Problem(objective, constraint_all)

prob.solve()
print("status:", prob.status)
print("optimal value", prob.value)

請注意，我使用cp.sum_squares(Q_sqrt @ x)語法來確保它不僅符合 DCP，而且也符合 DPP（請參閱第 4.1 節）。

首先，我注意到我的p = cp.sqrt(cp.sum_squares(Q_sqrt @ x)/N)部分目標（表達式 8的第一項）不是 DCP 並且不知道如何解決它。

另外，有人告訴我，需要使用cp.quad_over_lin重新制定這個xT @ Q @ x <= N * p**2約束，但是，如前所述，我要求它也遵循 DPP 規則（對於cvxpylayers ），因此我不確定如何更改cp.sum_squares(Q_sqrt @ x) <= N * (p ** 2)以跟隨cp.quad_over_lin 。

最后，我確信我的代碼的其他部分也錯誤地實現了。 非常感謝您對這個問題的任何幫助！

編輯 1 ：請注意，最終解決方案不必調用cvxpylayers ，而只需符合 DPP 標准，以便之后可以與cvxpylayers集成。

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新的

編輯 2 ：我現在意識到這可能是一個多變量問題，以最小化p - t給定變量x,z,p,t 。 我不知道為什么我沒有早點想到這一點。

鑒於上面的代碼片段問題，我最近的嘗試如下：

import cvxpy as cp
import numpy as np

N = 5

Q_sqrt = cp.Parameter((N, N))
Q = cp.Parameter((N, N))

x = cp.Variable(N)
z = cp.Variable(N)
p = cp.Variable()
t = cp.Variable()

objective = cp.Minimize(p - t)

constraint_soc = [z == Q @ x, x.value * z >= t ** 2, z >= 0, x >= 0]

constraint_other = [cp.quad_over_lin(Q_sqrt @ x, N) <= p ** 2, cp.sum(x) == 1, p >= 0, t >= 0]

constraint_all = constraint_other + constraint_soc

matrix = np.random.random((N, N))
a_matrix = matrix.T @ matrix
Q.value = a_matrix
Q_sqrt.value = np.sqrt(a_matrix)

prob = cp.Problem(objective, constraint_all)

prob.solve(verbose=True)
print("status:", prob.status)
print("optimal value", prob.value)

但是，我仍然收到錯誤消息：

DCPError：問題不遵循 DCP 規則。 具體來說：以下約束不是 DCP：quad_over_lin(param7788 @ var7790, 5.0) <= power(var7792, 2.0)，因為以下子表達式不是：|-- quad_over_lin(param7788 @ var7790, 5.0) <= power(var7792, 2.0)

對於這個xT @ Q @ x <= N * p**2約束（我的嘗試： cp.quad_over_lin(Q_sqrt @ x, N) <= p ** 2 ）。

除此之外，問題也是上面提到的SOCP ，所以我在 constraint_soc 中的constraint_soc可能是錯誤的，但我不確定如何基於this循環/分配變量。

編輯 3 ：在ErlingMOSEK對約束提出建議后，我將約束從cp.quad_over_lin(Q_sqrt @ x, N) <= p ** 2更改為cp.quad_over_lin(Q_sqrt @ x, p) <= N * p現在運行，但是，

出現了新的錯誤

求解器“ECOS”失敗。 嘗試其他求解器，或使用 verbose=True 求解以獲取更多信息。

我認為這是由於問題是SOCP （我的第二個問題），我不確定如何僅基於此示例構建 SOCP。

編輯 4 ：使用EDIT 2/3和 Erling 的答案以及 Erling 建議的不同求解器，問題得到解決。 注意我改用XPRESS求解器。

Answer 1

你應該改變

xT @ Q @ x <= N * p**2

至

(xT@Q@x)/p <= N * p

假設 p>=0。

順便說一句，如果您想了解更多關於如何將其表述為SOCP 的信息，請查閱 Mosek 建模食譜。