Gekko：獲得的解決方案有問題

Question

我正在嘗試解決 GEKKO 中的以下最優控制問題：

我先驗地知道c的路徑是：

其中參數值為：r = 0.33，i = 0.5，K(0) = 10 和 T = 10。

我在 Python 中編寫了以下代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from gekko import GEKKO

m = GEKKO(remote=True)
nt = 101; m.time = np.linspace(0,10,nt)
r = 0.33
i = 0.5

# Variables
c = m.Var()
k = m.Var(value=10)
objective = m.Var()

rate = [-r*t/10 for t in range(0, 101)]
factor = m.exp(rate)

p = np.zeros(nt)
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)
disc = m.Param(value=factor)


# Equations
m.Equation(k.dt() == i*k - c)
m.Equation(objective.dt() == disc*m.log(c))
# Objective Function
m.Maximize(final*objective)

m.options.IMODE = 6
m.solve()

plt.figure(1)
plt.plot(m.time,c.value,'k:',LineWidth=2,label=r'$C$')
plt.plot(m.time,k.value,'b-',LineWidth=2,label=r'$K$')

plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.show()

c和k的求解路徑如下圖：

這顯然是不正確的，因為c應該隨着時間的推移而增加，而不僅僅是目測事先給出的解決方案。

我不確定我錯在哪里。

Answer 1

當前編寫的最優控制問題是無界的。 c的值將 go 到無窮大以最大化 function。 我在c上設置了100的上限，求解器達到了該上限。 我重新制定了 model 以反映當前的問題陳述。 這里有一些建議：

1. 使用m.integral() function 使 model 更具可讀性。
2. 將c初始化為0以外的值（默認值）。 您可能還希望使用c>0.01設置下限，以便在求解器嘗試值<0時m.log(c)不是未定義的。
3. 僅在 Gekko 方程中使用 Gekko 函數，例如 with factor = m.exp(rate) 。 請改用factor = np.exp(rate) ，除非它位於可以計算的 Gekko 方程中。
4. 包括精確解的 plot，以便您可以比較精確解和數值解。
5. 使用m.options.NODES=3和c=m.MV()和c.STATUS=1來提高求解精度。 默認值為m.options.NODES=2 ，但並不准確。
6. 您可以使用m.free_initial(c)釋放初始條件來計算c的初始值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from gekko import GEKKO

m = GEKKO(remote=True)
nt = 101; m.time = np.linspace(0,10,nt)
r = 0.33
i = 0.5

# Variables
c = m.MV(4,lb=0.01,ub=100); c.STATUS=1
#m.free_initial(c)
k = m.Var(value=10)
objective = m.Var(0)
t = m.Param(m.time)
m.Equation(objective==m.exp(-r*t)*m.log(c))

# just to include on the plot
iobj = m.Intermediate(m.integral(objective))

p = np.zeros(nt)
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)

# Equations
m.Equation(k.dt() == i*k - c)
# Objective Function
m.Maximize(final*m.integral(objective))

m.options.IMODE = 6
m.solve()

plt.figure(1)
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(m.time,c.value,'k:',linewidth=2,label=r'$C_{gekko}$')
C_sol = r*10*np.exp((i-r)*m.time)/(1-np.exp(-r*10))
plt.plot(m.time,C_sol,'r--',linewidth=2,label=r'$C_{exact}$')
plt.ylabel('Value'); plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(m.time,k.value,'b-',linewidth=2,label=r'$K$')
plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(m.time,objective.value,'g:',linewidth=2,label=r'$obj$')
plt.plot(m.time,iobj.value,'k',linewidth=2,label=r'$\int obj$')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.show()

是否有其他信息表明此問題缺失？

編輯：添加了額外的約束k>0 。

按照評論中的建議添加了額外的約束。 由於最后的c值似乎不會影響解決方案，因此最終與精確解決方案存在細微差別。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from gekko import GEKKO

m = GEKKO(remote=True)
nt = 101; m.time = np.linspace(0,10,nt)
r = 0.33
i = 0.5

# Variables
c = m.MV(4,lb=0.001,ub=100); c.STATUS=1; c.DCOST=1e-6
m.free_initial(c)
k = m.Var(value=10,lb=0)
objective = m.Var(0)
t = m.Param(m.time)
m.Equation(objective==m.exp(-r*t)*m.log(c))

# just to include on the plot
iobj = m.Intermediate(m.integral(objective))

p = np.zeros(nt)
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)

# Equations
m.Equation(k.dt() == i*k - c)
# Objective Function
m.Maximize(final*m.integral(objective))

m.options.IMODE = 6
m.options.NODES = 3
m.solve()

plt.figure(1)
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(m.time,c.value,'k:',linewidth=2,label=r'$C_{gekko}$')
C_sol = r*10*np.exp((i-r)*m.time)/(1-np.exp(-r*10))
plt.plot(m.time,C_sol,'r--',linewidth=2,label=r'$C_{exact}$')
plt.ylabel('Value'); plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(m.time,k.value,'b-',linewidth=2,label=r'$K$')
plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(m.time,objective.value,'g:',linewidth=2,label=r'$obj$')
plt.plot(m.time,iobj.value,'k',linewidth=2,label=r'$\int obj$')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.show()