Gekko：获得的解决方案有问题

Question

我正在尝试解决 GEKKO 中的以下最优控制问题：

我先验地知道c的路径是：

其中参数值为：r = 0.33，i = 0.5，K(0) = 10 和 T = 10。

我在 Python 中编写了以下代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from gekko import GEKKO

m = GEKKO(remote=True)
nt = 101; m.time = np.linspace(0,10,nt)
r = 0.33
i = 0.5

# Variables
c = m.Var()
k = m.Var(value=10)
objective = m.Var()

rate = [-r*t/10 for t in range(0, 101)]
factor = m.exp(rate)

p = np.zeros(nt)
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)
disc = m.Param(value=factor)


# Equations
m.Equation(k.dt() == i*k - c)
m.Equation(objective.dt() == disc*m.log(c))
# Objective Function
m.Maximize(final*objective)

m.options.IMODE = 6
m.solve()

plt.figure(1)
plt.plot(m.time,c.value,'k:',LineWidth=2,label=r'$C$')
plt.plot(m.time,k.value,'b-',LineWidth=2,label=r'$K$')

plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.show()

c和k的求解路径如下图：

这显然是不正确的，因为c应该随着时间的推移而增加，而不仅仅是目测事先给出的解决方案。

我不确定我错在哪里。

Answer 1

当前编写的最优控制问题是无界的。 c的值将 go 到无穷大以最大化 function。 我在c上设置了100的上限，求解器达到了该上限。 我重新制定了 model 以反映当前的问题陈述。 这里有一些建议：

1. 使用m.integral() function 使 model 更具可读性。
2. 将c初始化为0以外的值（默认值）。 您可能还希望使用c>0.01设置下限，以便在求解器尝试值<0时m.log(c)不是未定义的。
3. 仅在 Gekko 方程中使用 Gekko 函数，例如 with factor = m.exp(rate) 。 请改用factor = np.exp(rate) ，除非它位于可以计算的 Gekko 方程中。
4. 包括精确解的 plot，以便您可以比较精确解和数值解。
5. 使用m.options.NODES=3和c=m.MV()和c.STATUS=1来提高求解精度。 默认值为m.options.NODES=2 ，但并不准确。
6. 您可以使用m.free_initial(c)释放初始条件来计算c的初始值。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from gekko import GEKKO

m = GEKKO(remote=True)
nt = 101; m.time = np.linspace(0,10,nt)
r = 0.33
i = 0.5

# Variables
c = m.MV(4,lb=0.01,ub=100); c.STATUS=1
#m.free_initial(c)
k = m.Var(value=10)
objective = m.Var(0)
t = m.Param(m.time)
m.Equation(objective==m.exp(-r*t)*m.log(c))

# just to include on the plot
iobj = m.Intermediate(m.integral(objective))

p = np.zeros(nt)
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)

# Equations
m.Equation(k.dt() == i*k - c)
# Objective Function
m.Maximize(final*m.integral(objective))

m.options.IMODE = 6
m.solve()

plt.figure(1)
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(m.time,c.value,'k:',linewidth=2,label=r'$C_{gekko}$')
C_sol = r*10*np.exp((i-r)*m.time)/(1-np.exp(-r*10))
plt.plot(m.time,C_sol,'r--',linewidth=2,label=r'$C_{exact}$')
plt.ylabel('Value'); plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(m.time,k.value,'b-',linewidth=2,label=r'$K$')
plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(m.time,objective.value,'g:',linewidth=2,label=r'$obj$')
plt.plot(m.time,iobj.value,'k',linewidth=2,label=r'$\int obj$')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.show()

是否有其他信息表明此问题缺失？

编辑：添加了额外的约束k>0 。

按照评论中的建议添加了额外的约束。 由于最后的c值似乎不会影响解决方案，因此最终与精确解决方案存在细微差别。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from gekko import GEKKO

m = GEKKO(remote=True)
nt = 101; m.time = np.linspace(0,10,nt)
r = 0.33
i = 0.5

# Variables
c = m.MV(4,lb=0.001,ub=100); c.STATUS=1; c.DCOST=1e-6
m.free_initial(c)
k = m.Var(value=10,lb=0)
objective = m.Var(0)
t = m.Param(m.time)
m.Equation(objective==m.exp(-r*t)*m.log(c))

# just to include on the plot
iobj = m.Intermediate(m.integral(objective))

p = np.zeros(nt)
p[-1] = 1.0
final = m.Param(value=p)

# Equations
m.Equation(k.dt() == i*k - c)
# Objective Function
m.Maximize(final*m.integral(objective))

m.options.IMODE = 6
m.options.NODES = 3
m.solve()

plt.figure(1)
plt.subplot(3,1,1)
plt.plot(m.time,c.value,'k:',linewidth=2,label=r'$C_{gekko}$')
C_sol = r*10*np.exp((i-r)*m.time)/(1-np.exp(-r*10))
plt.plot(m.time,C_sol,'r--',linewidth=2,label=r'$C_{exact}$')
plt.ylabel('Value'); plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,2)
plt.plot(m.time,k.value,'b-',linewidth=2,label=r'$K$')
plt.legend(loc='best')

plt.subplot(3,1,3)
plt.plot(m.time,objective.value,'g:',linewidth=2,label=r'$obj$')
plt.plot(m.time,iobj.value,'k',linewidth=2,label=r'$\int obj$')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Time')
plt.show()