在 Z3 或 Z3py 中部分描述 function

Question

這是我在 Stackoverflow 上的第一個問題。 因此，如果我違反任何家規，請務必提供建議。

我最近才開始學習 Z3Py。 我發現自己處於一種情況，我知道以下關於我想描述的 Int->Int function A並將其留給 Z3Py 解決的情況：

The summation of A(x) = 10000 where 0<x<100
A(x) > 10 where 0<x<100
A(x) = 0 where x>= 100
A(3) = 190
A(12) = 1200

如何在 Z3Py（或 Z3）中描述這些約束？

Answer 1

在 z3py 中可以有多種方法來編寫這個示例。 使用您列出的約束，您可以使用符號數組、未解釋的 function 或為 100 個元素中的每一個使用單獨的變量。

使用 arrays

對於這種情況，最簡單的方法是使用 arrays：即 model Int -> Int function 作為數組：

from z3 import *

A = Array('A', IntSort(), IntSort())

s = Solver()

total = 0
for i in range(100):
    s.add(A[i] > 10)
    total = total + A[i]

s.add(total == 10000)

s.add(A[ 3] ==  190)
s.add(A[12] == 1200)

k = Int('k')
s.add(ForAll(k, (Implies(Or(k < 0, k >= 100),  A[k] == 0))))

if s.check() == sat:
    m = s.model()
    for i in range(100):
        v = m.evaluate(A[i]).as_long()
        print("%3d: %d" % (i, v))

運行時，將打印：

您可以總結打印的值以確保它確實為您提供10000 。

使用未解釋的函數

您也可以將 model A作為未解釋的 function。 所需的更改對於上述內容來說確實微不足道：

from z3 import *

A = Function('A', IntSort(), IntSort())

s = Solver()

total = 0
for i in range(100):
    s.add(A(i) > 10)
    total = total + A(i)

s.add(total == 10000)

s.add(A( 3) ==  190)
s.add(A(12) == 1200)

k = Int('k')
s.add(ForAll(k, (Implies(Or(k < 0, k >= 100),  A(k) == 0))))

if s.check() == sat:
    m = s.model()
    for i in range(100):
        v = m.evaluate(A(i)).as_long()
        print("%3d: %d" % (i, v))

這打印：

model 在這種情況下完全不同，但很容易看出它有A(3) = 190 ， A(12) = 1200 ， A(74) = 7543 ，並且所有其他條目都設置為 11； 給你總共190 + 1200 + 7543 + 11 * 97 = 10000 。

使用單獨的變量

第三種方法是在 python 數組中分配 100 個 integer 元素，並分別聲明對各個元素的約束。 這將導致最簡單的 model，因為它不會使用任何量化。 當然，這將使 model 范圍0..99之外的元素隱式為 0，因此僅在不需要顯式提及此約束時才使用它。 同樣，編碼幾乎相同：

from z3 import *

A = [Int('A_%d' % i) for i in range(100)]

s = Solver()

total = 0
for i in range(100):
    s.add(A[i] > 10)
    total = total + A[i]

s.add(total == 10000)

s.add(A[ 3] ==  190)
s.add(A[12] == 1200)

if s.check() == sat:
    m = s.model()
    for i in range(100):
        v = m.evaluate(A[i]).as_long()
        print("%3d: %d" % (i, v))

為簡潔起見，我省略了 output 。 請注意，在這種情況下，我們如何使用A作為 python 列表，而不是 z3py 本身直接支持的符號數組。

概括

歸根結底，您所描述的約束非常簡單，可以使用所有這三種技術。 哪一個是最好的取決於你想要 model 的其他約束。 （特別是，您要避免任何大量使用量詞的事情，例如上面的ForAll ，因為 SMT 求解器通常不能很好地處理量詞。這個問題很簡單，所以不會造成問題，但是當您的約束變得復雜時，它可能會增加求解時間或導致求解器回答unknown問題。）

希望這能讓你開始。 祝你好運！

Answer 2

除了求和要求外，您將在下面找到問題的直接 SMT 編碼。

(set-option :smt.mbqi true) ; also try false (e-matching instead of MBQI)

(declare-fun A (Int) Int)

(assert 
  (=
    10000
    (+ 
      (A 1)
      (A 2)
      (A 3)
      ; ...
      (A 99))))

; A(x) > 10 where 0<x<100
(assert (forall ((x Int))
  (implies
    (and (< 0 x) (< x 100))
    (> (A x) 10))))

; A(x) = 0 where x>= 100
(assert (forall ((x Int))
  (implies
    (>= x 100)
    (> (A x) 10))))

; A(3) = 190
(assert (= (A 3) 190))

; A(12) = 1200
(assert (= (A 12) 1200))

(check-sat)

幾點說明：

所有 SMT 功能都是完整的； 如果要對部分 function 進行編碼，則必須明確 model 函數的域，並根據參數是否在域中來定義定義公理。 不過，Z3 仍會為您提供 function 的總 model。
任意求和在 SMT 中進行編碼並非易事，因為沒有求和運算符。 但是，您的情況更簡單，因為您的總和范圍是靜態已知數量的元素（ 0 < x < 100 ）。
如果 Z3py 提供了一種方便的源語法來生成靜態已知的許多元素的總和，我不會感到驚訝

在 Z3 或 Z3py 中部分描述 function

問題描述

2 個解決方案

解決方案1
1 2021-01-18 15:45:59

使用 arrays

使用未解釋的函數

使用單獨的變量

概括

解決方案2
0 2021-01-18 15:40:25

在 Z3 或 Z3py 中部分描述 function

問題描述

2 個解決方案

解決方案1 1 2021-01-18 15:45:59

使用 arrays

使用未解釋的函數

使用單獨的變量

概括

解決方案2 0 2021-01-18 15:40:25

解決方案1
1 2021-01-18 15:45:59

解決方案2
0 2021-01-18 15:40:25