在 Z3 或 Z3py 中部分描述 function

Question

这是我在 Stackoverflow 上的第一个问题。 因此，如果我违反任何家规，请务必提供建议。

我最近才开始学习 Z3Py。 我发现自己处于一种情况，我知道以下关于我想描述的 Int->Int function A并将其留给 Z3Py 解决的情况：

The summation of A(x) = 10000 where 0<x<100
A(x) > 10 where 0<x<100
A(x) = 0 where x>= 100
A(3) = 190
A(12) = 1200

如何在 Z3Py（或 Z3）中描述这些约束？

Answer 1

在 z3py 中可以有多种方法来编写这个示例。 使用您列出的约束，您可以使用符号数组、未解释的 function 或为 100 个元素中的每一个使用单独的变量。

使用 arrays

对于这种情况，最简单的方法是使用 arrays：即 model Int -> Int function 作为数组：

from z3 import *

A = Array('A', IntSort(), IntSort())

s = Solver()

total = 0
for i in range(100):
    s.add(A[i] > 10)
    total = total + A[i]

s.add(total == 10000)

s.add(A[ 3] ==  190)
s.add(A[12] == 1200)

k = Int('k')
s.add(ForAll(k, (Implies(Or(k < 0, k >= 100),  A[k] == 0))))

if s.check() == sat:
    m = s.model()
    for i in range(100):
        v = m.evaluate(A[i]).as_long()
        print("%3d: %d" % (i, v))

运行时，将打印：

您可以总结打印的值以确保它确实为您提供10000 。

使用未解释的函数

您也可以将 model A作为未解释的 function。 所需的更改对于上述内容来说确实微不足道：

from z3 import *

A = Function('A', IntSort(), IntSort())

s = Solver()

total = 0
for i in range(100):
    s.add(A(i) > 10)
    total = total + A(i)

s.add(total == 10000)

s.add(A( 3) ==  190)
s.add(A(12) == 1200)

k = Int('k')
s.add(ForAll(k, (Implies(Or(k < 0, k >= 100),  A(k) == 0))))

if s.check() == sat:
    m = s.model()
    for i in range(100):
        v = m.evaluate(A(i)).as_long()
        print("%3d: %d" % (i, v))

这打印：

model 在这种情况下完全不同，但很容易看出它有A(3) = 190 ， A(12) = 1200 ， A(74) = 7543 ，并且所有其他条目都设置为 11； 给你总共190 + 1200 + 7543 + 11 * 97 = 10000 。

使用单独的变量

第三种方法是在 python 数组中分配 100 个 integer 元素，并分别声明对各个元素的约束。 这将导致最简单的 model，因为它不会使用任何量化。 当然，这将使 model 范围0..99之外的元素隐式为 0，因此仅在不需要显式提及此约束时才使用它。 同样，编码几乎相同：

from z3 import *

A = [Int('A_%d' % i) for i in range(100)]

s = Solver()

total = 0
for i in range(100):
    s.add(A[i] > 10)
    total = total + A[i]

s.add(total == 10000)

s.add(A[ 3] ==  190)
s.add(A[12] == 1200)

if s.check() == sat:
    m = s.model()
    for i in range(100):
        v = m.evaluate(A[i]).as_long()
        print("%3d: %d" % (i, v))

为简洁起见，我省略了 output 。 请注意，在这种情况下，我们如何使用A作为 python 列表，而不是 z3py 本身直接支持的符号数组。

概括

归根结底，您所描述的约束非常简单，可以使用所有这三种技术。 哪一个是最好的取决于你想要 model 的其他约束。 （特别是，您要避免任何大量使用量词的事情，例如上面的ForAll ，因为 SMT 求解器通常不能很好地处理量词。这个问题很简单，所以不会造成问题，但是当您的约束变得复杂时，它可能会增加求解时间或导致求解器回答unknown问题。）

希望这能让你开始。 祝你好运！

Answer 2

除了求和要求外，您将在下面找到问题的直接 SMT 编码。

(set-option :smt.mbqi true) ; also try false (e-matching instead of MBQI)

(declare-fun A (Int) Int)

(assert 
  (=
    10000
    (+ 
      (A 1)
      (A 2)
      (A 3)
      ; ...
      (A 99))))

; A(x) > 10 where 0<x<100
(assert (forall ((x Int))
  (implies
    (and (< 0 x) (< x 100))
    (> (A x) 10))))

; A(x) = 0 where x>= 100
(assert (forall ((x Int))
  (implies
    (>= x 100)
    (> (A x) 10))))

; A(3) = 190
(assert (= (A 3) 190))

; A(12) = 1200
(assert (= (A 12) 1200))

(check-sat)

几点说明：

所有 SMT 功能都是完整的； 如果要对部分 function 进行编码，则必须明确 model 函数的域，并根据参数是否在域中来定义定义公理。 不过，Z3 仍会为您提供 function 的总 model。
任意求和在 SMT 中进行编码并非易事，因为没有求和运算符。 但是，您的情况更简单，因为您的总和范围是静态已知数量的元素（ 0 < x < 100 ）。
如果 Z3py 提供了一种方便的源语法来生成静态已知的许多元素的总和，我不会感到惊讶

在 Z3 或 Z3py 中部分描述 function

问题描述

2 个解决方案

解决方案1
1 2021-01-18 15:45:59

使用 arrays

使用未解释的函数

使用单独的变量

概括

解决方案2
0 2021-01-18 15:40:25

在 Z3 或 Z3py 中部分描述 function

问题描述

2 个解决方案

解决方案1 1 2021-01-18 15:45:59

使用 arrays

使用未解释的函数

使用单独的变量

概括

解决方案2 0 2021-01-18 15:40:25

解决方案1
1 2021-01-18 15:45:59

解决方案2
0 2021-01-18 15:40:25