嘗試表示 2^(-23) 時，無法在單精度 IEEE-754 中掌握“轉換引起的錯誤”

Question

讓我先說這個問題，我理解為什么諸如0.1 、 3.14 、 0.2之類的值和其他不能由兩個冪的組合組合的值最終無法用 IEEE-754 格式表示，並且它們可能只能近似為最佳精度允許。

我無法理解的是為什么嘗試表示值2 ^-23會導致輕微的誤差。

2 ^-23正好等於1.1920928955078e-7或0.00000011920928955078 。 在單精度 IEEE-754 中，它可以構造如下：

• 符號位為0
• 偏置指數為104 （或二進制為0b01101000 ）以說明 127 偏置，導致-23成為最終指數值
• 尾數的位域完全由0組成，當隱含的1位被計算在內時，其最終值為1.0

然而，將這個特定的位序列存儲在 memory 中並以十進制表示法打印出來，小數點后有 25 位精度，結果如下：

0.0000001192092895507812500
                      ^
                      |
                      margin of error starts here

該值恰好包含1.25e-21的錯誤。 在此交互式網站上，此錯誤值稱為“轉換導致的錯誤”。

我很難理解這一點——因為我理解，例如，為什么像+3.14這樣的值不能用單精度位域精確表示。 由指數中的值縮放的尾數中兩個負冪的組合不能精確表示3.14 ，因此選擇下一個最接近的近似值。 因此，預計會出現“由於轉換而導致的錯誤”。 與此相反，值2 ^-23可以准確地存儲在單精度位域中，但是當轉換回十進制表示法時，會出現錯誤。

顯然我有某種誤解，但我無法弄清楚到底在哪里。

Answer 1

2 ^-23實際上並不完全等於1.1920928955078e-7 。

我用來執行計算的軟件將結果截斷了三位數字...... 2 ^-23的精確值恰好是0.00000011920928955078125或1.1920928955078125e-7 ，這是我之前觀察到的 output ，使其正確，沒有任何誤差。

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同樣毫無意義的是，該網站提前將尾數的十進制表示形式截斷了幾位，使得手工計算（即，將尾數與符號位和 2^指數相乘）看起來不正確（或至少略有偏差），當它們是事實上不是。