尝试表示 2^(-23) 时，无法在单精度 IEEE-754 中掌握“转换引起的错误”

Question

让我先说这个问题，我理解为什么诸如0.1 、 3.14 、 0.2之类的值和其他不能由两个幂的组合组合的值最终无法用 IEEE-754 格式表示，并且它们可能只能近似为最佳精度允许。

我无法理解的是为什么尝试表示值2 ^-23会导致轻微的误差。

2 ^-23正好等于1.1920928955078e-7或0.00000011920928955078 。 在单精度 IEEE-754 中，它可以构造如下：

• 符号位为0
• 偏置指数为104 （或二进制为0b01101000 ）以说明 127 偏置，导致-23成为最终指数值
• 尾数的位域完全由0组成，当隐含的1位被计算在内时，其最终值为1.0

然而，将这个特定的位序列存储在 memory 中并以十进制表示法打印出来，小数点后有 25 位精度，结果如下：

0.0000001192092895507812500
                      ^
                      |
                      margin of error starts here

该值恰好包含1.25e-21的错误。 在此交互式网站上，此错误值称为“转换导致的错误”。

我很难理解这一点——因为我理解，例如，为什么像+3.14这样的值不能用单精度位域精确表示。 由指数中的值缩放的尾数中两个负幂的组合不能精确表示3.14 ，因此选择下一个最接近的近似值。 因此，预计会出现“由于转换而导致的错误”。 与此相反，值2 ^-23可以准确地存储在单精度位域中，但是当转换回十进制表示法时，会出现错误。

显然我有某种误解，但我无法弄清楚到底在哪里。

Answer 1

2 ^-23实际上并不完全等于1.1920928955078e-7 。

我用来执行计算的软件将结果截断了三位数字...... 2 ^-23的精确值恰好是0.00000011920928955078125或1.1920928955078125e-7 ，这是我之前观察到的 output ，使其正确，没有任何误差。

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同样毫无意义的是，该网站提前将尾数的十进制表示形式截断了几位，使得手工计算（即，将尾数与符号位和 2^指数相乘）看起来不正确（或至少略有偏差），当它们是事实上不是。