在 O(n log n) 時間復雜度中找到總和為零的三個元素的算法

Question

假設 n 個整數的輸入數組僅包含 -5000n 到 6000n 之間的整數。 我們需要找到一種算法，在 O(n log n) 時間內確定數組是否包含三個總和為零的元素。

我的方法：

1. Sort in O(n log n) time.
2. Run a loop in O(n) time
3.     Fix two left and right pointers in the sorted array as the two endpoints
4.     find = SUM - (A[left] + A[right])
5.     Search for the third element (find) using binary search in O(log n)
6.     if found then return TRUE
7.     else 
8.         

我卡在第 8 步，如果二分查找算法返回 false 那么應該如何調整左右指針？

此外，由於我沒有評估所有可能的組合，整個算法是否會在每種情況下都找到總和為零的三個元素？

提示 - 使用多項式 FFT 算法Ref1 FFT , Ref2 FFT

Answer 1

您不在通往 O(N log N) 算法的道路上。 您的算法要么是 O(N ² ) 要么被破壞，這取決於您如何完成它。

該問題旨在使用 FFT 卷積來解決，如下所示：

1. 分配一個大小為 W 的數組，其中 W 是 2 的冪並且大於 22001N。

2. 用零填充數組，然后為輸入數組中的每個值 v 設置 array[v+5000N]=1。

3. 將數組與其自身進行卷積：計算 FFT，對每個結果值進行平方，然后計算 IFFT。

4. 對於輸入中的每個值 v，檢查 ifft[10000N-v] 是否 > 0。如果是，則輸入中有兩個數字加起來等於 -v。 對輸入數組進行排序並使用傳統的兩指針搜索來查找其他兩個數字。