給定n個點，我怎樣才能找到給定距離的點數

Question

我有n 個唯一點 (X,Y) 的輸入，它們介於 0 和 2^32 之間（含）。 坐標是整數。

我需要創建一個算法來查找距離正好為 2018 的點對數。

我曾考慮過檢查所有其他點，但它會是O(n^2) ，我必須讓它更有效率。 我還考慮過使用集合或向量，並使用比較器根據與原點的距離對其進行排序，但這根本無濟於事。

那么我怎樣才能有效地做到這一點呢？

Answer 1

您可以嘗試使用Quadtree 。 首先，您開始將您的點排序到四叉樹中。 您應該為像元大小指定一個下限，例如 2048，它是 2 的冪。然后遍歷這些點並計算到同一像元中的點和相鄰像元中的點的距離。 這樣，您應該能夠大大減少距離計算的數量。

主要的困難可能是實現樹形結構。 您還必須找到找到相鄰單元格的方法（您必須包括在樹中向上遍歷的可能性）

這的復雜性可能是 O(n*log(n)) 但不要把我固定在那個上面。

關於距離計算的另外一個詞：如果你不這樣做，你可能會快得多

dx = p1x - p2x;
dy = p1y - p2y;
if ( sqrt(dx*dx + dy*dy) == 2018 ) {
    ...
}

但

dx = p1x - p2x;
dy = p1y - p2y;
if ( dx*dx + dy*dy == 2018*2018 ) {
    ...
}

平方比取平方根更快。 因此，只需將距離的平方與 2018 年的平方進行比較。

Answer 2

有一個斜邊為 2018 的畢達哥拉斯三元組： 1118 ² +1680 ² =2108 ² 。

由於所有坐標都是整數，因此兩點的坐標（X 和 Y）之間唯一可能的差異是 0、1118、1680 和 2018。

查找 X（或 Y）坐標之間具有給定差異的所有點對是一個簡單的n log n操作。

Answer 3

讓我給你一個建議：

兩點 (X1, Y1) 和 (X2, Y2) 之間的距離等於：

sqrt((X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2)

因此，您可能會考慮檢查：

sqrt((X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2) <= 2018

但是，您可以輕松地將其簡化為：

(X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2 <= 2018^2  // or:
(X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2 <= 4072324

在這里，您已經放棄了平方根的計算，這是一個性能殺手。

接下來，有一個簡單的觀察，如果 X 或 Y 坐標彼此之間的距離大於 2018，那么距離肯定會大於 2018，因此，您可以執行以下操作：

boolean close_enough (double X1, Y1, X2, Y2)
{
    if ((abs(X2 - X1) > 2018) || (abs(Y2 - Y1) > 2018))
      return false;
    else
      return ((X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2 <= 4072324);
}

如您所見，性能優化不僅僅是大 O 符號的問題：-)