帶負權邊的有向樹上的 Dijkstra 最短路徑算法

Question

Dijkstra 的最短路徑算法會在具有負權邊的有向樹上返回正確的結果嗎？

在具有負權重的一般圖上，算法會失敗，但由於它是有向樹，所以感覺算法會成功。

Answer 1

從其他答案中，您知道如果您知道圖形是一棵樹，則沒有充分的理由運行 Dijkstra 算法。

但是，如果您確實運行它，即使樹的邊緣權重為負，它也會起作用。

Dijkstra 算法不適用於具有負權重的圖的原因是，負權重允許在已經確定其距離之后找到到頂點的第二條更短的路徑。 在樹中沒有第二條路徑。

Answer 2

在樹中，任何兩個給定節點之間只有一條路徑，因此在樹中搜索“最短”路徑沒有什么意義：當你找到一條路徑時，它是最短的，並且這種搜索不需要考慮權重，所以不需要使用 Dijkstra 算法。 一個簡單的深度優先搜索就可以了。

如果圖不是樹，而是帶負邊的有向無環圖（DAG），那么 Dijkstra 算法就不能用於尋找最短路徑。 以這個反例為例：

如果我們必須尋找從 A 到 C 的最短路徑，Dijkstra 的算法將繼續訪問 B 和 C，當它到達目標時，它將停止進一步尋找，從不考慮從 B 到 C 的邊。

其他應用 Dijkstra 的嘗試

另一個（現已刪除）的答案建議通過向所有權重添加絕對值來使所有邊權重為正，但這不會產生正確的結果：原始圖中的最短路徑是什么，不能保證仍然是最短路徑派生圖。

反例：

在原始圖中，從 A 到 C 的最短路徑經過 B，在調整后的圖中，最短路徑是 AC。