選擇排序的總和

Question

我正在閱讀算法設計手冊，並堅持理解第 2 章中選擇排序背后的總和。

1. 有人可以解釋這個總結是如何簡化的嗎？ 例如，我們如何得到 n - i - 1？

2. 如果 n = 8，則 s(n) 為 (8 - 1) + (8 - 2) + (8 - 3) 等。與公式相關的結果是什么？ 我已經包含了段落的屏幕截圖和我的上下文注釋。 選擇排序截圖

Answer 1

\sum_{i=0}^{j-1} \sum_{j=i+1}^{n-1} 1 = \sum_{i=0}^{j-1} n - i - 1 ，為什么這個， j在哪里？

您在詢問對索引j求和的簡化步驟。 這個鏈接更詳細，但總的來說，

\sum_{j=u}^{v} 1 = -u + v + 1

相當於這個偽代碼，

sum = 0
for(int j = u; j <= v; j++)
    sum += (f(j) = 1)
return sum

例如，對於u=3和v=22 ，它將是sum = u - v + 1 = 22 - 3 + 1 = 20 。

在u = i+1和v = n-1處使用-u + v + 1 1 它簡化為-(i+1) + (n-1) + 1 = n - i - 1 。

如果n=8確實\sum_{i=0}^{n-1} n - i - 1指的是(8-1) + (8-2) + (8-3) + ... + 2 + 1 [+ 0] ，為什么有兩種不同的值？

它已簡化為(8-0-1) + (8-1-1) + (8-2-1) + ... (8-5-1) + (8-6-1) + (8-7-1) 。