IEEE754能正確比較浮點數大小的范圍是多少

Question

我知道可以正確比較的整數范圍是-(2^53 - 1)到2^53 - 1 。

但是浮點數的范圍是多少？

// Should the double type conform to this specification? I guess
double c = 9007199254740990.9;
double d = 9007199254740990.8;
System.out.println(c > d); // return false

Answer 1

沒有保證正確比較浮點數的特定范圍 - 這需要存在無限多的double表示。

所有double精度數都精確到其二進制表示的 53 位有效數字。 如果兩個數字僅在第 54 位有效二進制數字上有所不同，則它們通常具有相同的double表示，除非四舍五入使它們不同。

Answer 2

這個問題似乎是基於對（數學）實數及其與 IEEE-754 的關系的基本誤解。

“浮點”是指實數的表示方案。 從歷史上看，它包括十進制數字和“小數點”。 有無限數量的實數和（相應地）無限數量的浮點數。 前提是你有足夠的紙把它們寫下來。

實數的一個特性是在任何一對不同的實數之間存在無限個實數。 這包括任何非常接近的一對。

IEEE-754 浮點數是不同的。 每個代表一個精確的實數。 對於 IEEE-754 雙精度，這些實數中有一組（小於）2^64。 不在該集合中的任何其他實數都不能精確地表示為double 。

在 Java 中，當我們這樣寫時：

double c = 9007199254740990.9;
double d = 9007199254740990.8;
System.out.println(c > d); // return false

c的值將是最接近浮點表示法表示的實數的 IEEE-754 表示。 同樣d 。 它不會完全等於實數。 （它只能對無限實數集的有限子集是精確的......）

print 語句說明了這一點。 這 2 個實數最接近的 IEEE-754 表示是相同的。

實際發生的情況是 Java 編譯器計算出9007199254740990.9和9007199254740990.8含義為實數。 然后它默默地將這些數字四舍五入到最接近的 IEEE-754 double 。

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所以對於你的問題：

IEEE-754可以正確比較浮點數大小的范圍是多少

A：沒有這個范圍。

如果您給我任何映射到double值d的實數“x”（以浮點形式表示），我可以給您寫一個也映射到相同值d的不同實數“y”（浮點形式） . 我需要做的就是在“x”的最低有效端添加一些額外的數字。

^{注意：推理與 IEEE-754 的實際表示無關。 它僅取決於 IEEE-754 表示具有固定位數的事實。 這意味着可能值的集合是有界的……而 rest 是其邏輯結果。}

Answer 3

讓我們考慮一下這些雙數的實際位表示：

我們可以使用System.out.println(Long.toBinaryString(Double.doubleToRawLongBits(c))); 打印位表示。

9007199254740990.9和9007199254740990.8在 IEEE 754 之后具有相同的位表示：

0 10000110011 1111111111111111111111111111111111111111111111111111

s(sign) = 0
exp = 10000110011 (binary value, which equals 1075 in decimal)
frac = 111...111 (52 bits)

此表示的精確值是：

使用 IEEE 754，從 2^53 開始，double 類型不再能夠精確表示所有大於 2^53 的整數，更不用說浮點數了。

關於 OP 問題，正如其他答案中所述，沒有准確的范圍。 例如，以下語句將評估為真。 我們不會說double可以比較的浮點數范圍小於1.1。 一般來說，數字越大，雙精度類型所能表示的精度就越低。

double x1 = 1.1;
double x2 = 1.1000000000000001;
System.out.println(x1 == x2); // true