Haskell，實現 Monoids。 什么是 Semigroup，為什么它表現得如此怪異？

Question

我想實現一個名為 ComplexNumber 的自定義數據類型，如下所示： data ComplexNumber a = C (a,a)

現在我想實現 Monoid 變量並定義二進制 mempty Element 和 mappend ，如下所示：

instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
    mempty = C (0,0)
    mappend = (C (a1, b1)) (C (a2, b2)) = C (a1 + a2, b1 + b2)

但這並沒有成功，因此試圖找出原因並遇到了 Semigroup（我仍然不太了解）並得出了一個至少可以編譯並且似乎可以使用的解決方案：

instance Num a => Semigroup (ComplexNumber a) where
    (C (a1, b1)) <> (C (a2,b2)) = C (a1 + a2, b1 + b2)

instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
    mempty = C (0,0)

有趣的是，當我刪除 Semigroup 的實現時，程序不再編譯並給我以下錯誤：

    * Could not deduce (Semigroup (ComplexNumber a))
        arising from the superclasses of an instance declaration
      from the context: Num a
        bound by the instance declaration at Aufgabe_10.hs:9:10-42
    * In the instance declaration for `Monoid (ComplexNumber a)'
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9 | instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
  |  

為什么我可以將這兩個部分編譯在一起，但是當我刪除半組時會發生錯誤？ 特別是這個半群的東西

Answer 1

Semigroup只是具有<>操作實現的所有類型的 class，以某種方式使其具有關聯性（即a<>(b<>c) ≡ (a<>b)<>c ，它確實如果我們忽略小的浮點偏差，則適用於您的復數）。

Monoid是半群的 class ，它們還具有中性元素mempty ，即始終滿足mempty <> a ≡ a <> mempty ≡ a的元素（對於具有加法和零的復數也是如此）。
對於甚至沒有<>操作的類型，即沒有Semigroup實例，這將是一個荒謬的要求。 這由Semigroup表示為Monoid的超類，因此不可能有一個類型是Monoid的實例而不是Semigroup的實例。

從歷史上看， Semigroup和Monoid是獨立的類，舊的Monoid提供自己的mappend操作，相當於現代的<> 。 一些較舊的書籍/教程仍然基於這個舊的 class 層次結構。
但是因為有一堆類型只是半群而不是幺半群，所以 class 層次結構發生了變化。

Answer 2

一個幺半群^[wiki]是一個具有恆等式的半群^[wiki] ：它有一個恆等元素 e ^[wiki] ，對於集合中的所有元素x ，關聯二元運算⊕將x ⊕ e = e ⊕ x = x 。 因此，每個幺半群都是一個半群，因為半群是一個具有關聯二元算子⊕的代數結構，因此除了不需要單位元e之外，它的性質與幺半群中的相同。

從base-4.9.0.0開始，引入了Semigroup class ，但隨后Semigroup和Monoid並沒有“生活在一起”。 由於為Semigroup定義與Monoid實例不同的二元運算符沒有多大意義（因為這可能會引起混淆），因為base-4.11.0.0 ， Semigroup是Monoid的超類。 事實上， Monoid被定義為^[src] ：

  class半群 a => Monoid a where # ...

這意味着為了使某物成為Monoid的實例，它也必須是Semigroup的實例。 mappend:: Monoid a => a -> a -> a將自動鏈接到(<>):: Semigroup a => a -> a -> a Semigroup a => a -> a -> a 的實現，並且很可能最終會被刪除。

因此，您不能再定義Monoid的實例而不定義Semigroup的實例。 但是您可以“機械地”從Monoid的舊實例創建一個實例，因為您只需將mappend的實現從Monoid實例移動到Semigroup的實例。