Haskell，实现 Monoids。 什么是 Semigroup，为什么它表现得如此怪异？

Question

我想实现一个名为 ComplexNumber 的自定义数据类型，如下所示： data ComplexNumber a = C (a,a)

现在我想实现 Monoid 变量并定义二进制 mempty Element 和 mappend ，如下所示：

instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
    mempty = C (0,0)
    mappend = (C (a1, b1)) (C (a2, b2)) = C (a1 + a2, b1 + b2)

但这并没有成功，因此试图找出原因并遇到了 Semigroup（我仍然不太了解）并得出了一个至少可以编译并且似乎可以使用的解决方案：

instance Num a => Semigroup (ComplexNumber a) where
    (C (a1, b1)) <> (C (a2,b2)) = C (a1 + a2, b1 + b2)

instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
    mempty = C (0,0)

有趣的是，当我删除 Semigroup 的实现时，程序不再编译并给我以下错误：

    * Could not deduce (Semigroup (ComplexNumber a))
        arising from the superclasses of an instance declaration
      from the context: Num a
        bound by the instance declaration at Aufgabe_10.hs:9:10-42
    * In the instance declaration for `Monoid (ComplexNumber a)'
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9 | instance Num a => Monoid (ComplexNumber a) where
  |  

为什么我可以将这两个部分编译在一起，但是当我删除半组时会发生错误？ 特别是这个半群的东西

Answer 1

Semigroup只是具有<>操作实现的所有类型的 class，以某种方式使其具有关联性（即a<>(b<>c) ≡ (a<>b)<>c ，它确实如果我们忽略小的浮点偏差，则适用于您的复数）。

Monoid是半群的 class ，它们还具有中性元素mempty ，即始终满足mempty <> a ≡ a <> mempty ≡ a的元素（对于具有加法和零的复数也是如此）。
对于甚至没有<>操作的类型，即没有Semigroup实例，这将是一个荒谬的要求。 这由Semigroup表示为Monoid的超类，因此不可能有一个类型是Monoid的实例而不是Semigroup的实例。

从历史上看， Semigroup和Monoid是独立的类，旧的Monoid提供自己的mappend操作，相当于现代的<> 。 一些较旧的书籍/教程仍然基于这个旧的 class 层次结构。
但是因为有一堆类型只是半群而不是幺半群，所以 class 层次结构发生了变化。

Answer 2

一个幺半群^[wiki]是一个具有恒等式的半群^[wiki] ：它有一个恒等元素 e ^[wiki] ，对于集合中的所有元素x ，关联二元运算⊕将x ⊕ e = e ⊕ x = x 。 因此，每个幺半群都是一个半群，因为半群是一个具有关联二元算子⊕的代数结构，因此除了不需要单位元e之外，它的性质与幺半群中的相同。

从base-4.9.0.0开始，引入了Semigroup class ，但随后Semigroup和Monoid并没有“生活在一起”。 由于为Semigroup定义与Monoid实例不同的二元运算符没有多大意义（因为这可能会引起混淆），因为base-4.11.0.0 ， Semigroup是Monoid的超类。 事实上， Monoid被定义为^[src] ：

  class半群 a => Monoid a where # ...

这意味着为了使某物成为Monoid的实例，它也必须是Semigroup的实例。 mappend:: Monoid a => a -> a -> a将自动链接到(<>):: Semigroup a => a -> a -> a Semigroup a => a -> a -> a 的实现，并且很可能最终会被删除。

因此，您不能再定义Monoid的实例而不定义Semigroup的实例。 但是您可以“机械地”从Monoid的旧实例创建一个实例，因为您只需将mappend的实现从Monoid实例移动到Semigroup的实例。