無向圖中 DFS 的時間復雜度

Question

假設我們有 4 個節點，所有節點都連接到所有其他節點，我需要從 node1 到 node4 的 go。 我檢查的大多數資源的時間復雜度是O(V+E) ，但我有點困惑。

                            node1 
                              |
         node2      /       node3       /        node4     level2     3
           | 
  node1 / node3 / node4      ..................            level3     3 to power of 2

因此，如果所有節點都將被訪問，那么復雜度是 N 的 N 次方。 即使使用哈希集來跟蹤使用回溯訪問了哪些節點，它也不應該影響整體時間復雜度嗎？

Answer 1

如果您從每個節點訪問所有節點，復雜性不會是N ^N ，如果N是您的節點數，那么復雜性將是N ² 。

現在碰巧一個完整的圖（一個所有節點都連接到所有節點的圖，就像在你的例子中一樣）有許多邊|E| = O(|V| ² ) 。 如果您不知道為什么，請注意每個節點都連接到(N - 1)個其他節點，因此確切的邊數是(N - 1) ² = N ² - 2N + 1 = O(N ² ) 。

正如你所說，深度優先搜索的時間復雜度是O(|V| + |E|) 。 在大 O 表示法中，這與O(max(|V|, |E|))相同，因為只有主導項才重要。 所以對於我們的完整圖， |E| 占主導地位，復雜性僅為O(|E|) 。

正如我們之前所說， |E| = O(|V| ² ) ，所以我們的復雜度是O(|E|) = O(|V| ² ) 。

這是否為您的困惑提供了一些清晰的信息？