SymPy 在區分隱式 function 時沒有簡化“足夠”

Question

我試圖找到隱式 function y = f(x)的一階和二階導數
由以下等式定義： exp(sin(x)) - x * exp(sin(y)) = 0

SymPy 計算一階導數並給出以下答案：

但是這個表達式可以更簡單地寫成：

(x * cos(x) - 1) / (x * cos(y))

使用x = exp(sin(x)-sin(y))的事實

對二階導數給出的答案也相當復雜。

當然二階導數也可以化簡
很多使用相同的事實x = exp(sin(x)-sin(y)) 。

我怎樣才能使/強制 SymPy 應用這些額外的簡化？
這甚至可能嗎？

這是我的腳本。

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ### Differentiating an implicit function using SymPy

# In[1]:


import sympy as sp


# In[2]:


sp.__version__


# In[3]:


sp.init_printing(use_latex='mathjax')  # use pretty mathjax output


# In[4]:


sp.var('x y z')

F = sp.exp(sp.sin(x)) - x * sp.exp(sp.sin(y))


# In[5]:


f1 = sp.idiff( F, y, x ) # First derivative of y w.r.t. x
f1


# In[6]:


sp.simplify(f1)


# In[7]:


f2 = sp.idiff( F, y, x, 2) # Second derivative of y w.r.t. x
f2

sp.simplify(f2)


# In[ ]:

而且，這里有一個更簡單的例子，它顯示了這種不受歡迎的行為。

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ### Differentiating an implicit function using SymPy

# In[1]:


import sympy as sp


# In[2]:


sp.__version__


# In[3]:


sp.init_printing(use_latex='mathjax')  # use pretty mathjax output


# In[4]:


sp.var('x y')

F = sp.ln(sp.sqrt(x**2 + y**2)) - sp.atan(y / x)


# In[5]:


f1 = sp.idiff( F, y, x ) # First derivative of y w.r.t. x
f1


# In[6]:


sp.simplify(f1)


# In[7]:


f2 = sp.idiff( F, y, x, 2) # Second derivative of y w.r.t. x
f2

sp.simplify(f2)


# In[ ]:

這里的二階導數為：

即使不使用任何特殊事實，這個表達式顯然也可以進一步簡化。

Answer 1

您可以自己簡化表達式。 在第一個示例中，您可以選擇一個項來消除並解決F ：

In [42]: F
Out[42]: 
     sin(y)    sin(x)
- x⋅ℯ       + ℯ      

In [43]: solve(F, exp(sin(y)))
Out[43]: 
⎡ sin(x)⎤
⎢ℯ      ⎥
⎢───────⎥
⎣   x   ⎦

In [44]: [esy] = solve(F, exp(sin(y)))

In [45]: f2.subs(exp(sin(y)), esy)
Out[45]: 
                        2                                     
            x⋅sin(y)⋅cos (x)   2⋅sin(y)⋅cos(x)     sin(y)    1
-x⋅sin(x) + ──────────────── - ─────────────── + ───────── + ─
                   2                  2               2      x
                cos (y)            cos (y)       x⋅cos (y)    
──────────────────────────────────────────────────────────────
                           x⋅cos(y) 

您可以從那里應用進一步的簡化操作。

在第二個示例中，您可以調用factor ：

In [47]: f2
Out[47]: 
         ⎛ 2    2⎞       
       2⋅⎝x  + y ⎠       
─────────────────────────
 3      2          2    3
x  - 3⋅x ⋅y + 3⋅x⋅y  - y 

In [48]: factor(f2)
Out[48]: 
  ⎛ 2    2⎞
2⋅⎝x  + y ⎠
───────────
         3 
  (x - y)