SymPy 在区分隐式 function 时没有简化“足够”

Question

我试图找到隐式 function y = f(x)的一阶和二阶导数
由以下等式定义： exp(sin(x)) - x * exp(sin(y)) = 0

SymPy 计算一阶导数并给出以下答案：

但是这个表达式可以更简单地写成：

(x * cos(x) - 1) / (x * cos(y))

使用x = exp(sin(x)-sin(y))的事实

对二阶导数给出的答案也相当复杂。

当然二阶导数也可以化简
很多使用相同的事实x = exp(sin(x)-sin(y)) 。

我怎样才能使/强制 SymPy 应用这些额外的简化？
这甚至可能吗？

这是我的脚本。

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ### Differentiating an implicit function using SymPy

# In[1]:


import sympy as sp


# In[2]:


sp.__version__


# In[3]:


sp.init_printing(use_latex='mathjax')  # use pretty mathjax output


# In[4]:


sp.var('x y z')

F = sp.exp(sp.sin(x)) - x * sp.exp(sp.sin(y))


# In[5]:


f1 = sp.idiff( F, y, x ) # First derivative of y w.r.t. x
f1


# In[6]:


sp.simplify(f1)


# In[7]:


f2 = sp.idiff( F, y, x, 2) # Second derivative of y w.r.t. x
f2

sp.simplify(f2)


# In[ ]:

而且，这里有一个更简单的例子，它显示了这种不受欢迎的行为。

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ### Differentiating an implicit function using SymPy

# In[1]:


import sympy as sp


# In[2]:


sp.__version__


# In[3]:


sp.init_printing(use_latex='mathjax')  # use pretty mathjax output


# In[4]:


sp.var('x y')

F = sp.ln(sp.sqrt(x**2 + y**2)) - sp.atan(y / x)


# In[5]:


f1 = sp.idiff( F, y, x ) # First derivative of y w.r.t. x
f1


# In[6]:


sp.simplify(f1)


# In[7]:


f2 = sp.idiff( F, y, x, 2) # Second derivative of y w.r.t. x
f2

sp.simplify(f2)


# In[ ]:

这里的二阶导数为：

即使不使用任何特殊事实，这个表达式显然也可以进一步简化。

Answer 1

您可以自己简化表达式。 在第一个示例中，您可以选择一个项来消除并解决F ：

In [42]: F
Out[42]: 
     sin(y)    sin(x)
- x⋅ℯ       + ℯ      

In [43]: solve(F, exp(sin(y)))
Out[43]: 
⎡ sin(x)⎤
⎢ℯ      ⎥
⎢───────⎥
⎣   x   ⎦

In [44]: [esy] = solve(F, exp(sin(y)))

In [45]: f2.subs(exp(sin(y)), esy)
Out[45]: 
                        2                                     
            x⋅sin(y)⋅cos (x)   2⋅sin(y)⋅cos(x)     sin(y)    1
-x⋅sin(x) + ──────────────── - ─────────────── + ───────── + ─
                   2                  2               2      x
                cos (y)            cos (y)       x⋅cos (y)    
──────────────────────────────────────────────────────────────
                           x⋅cos(y) 

您可以从那里应用进一步的简化操作。

在第二个示例中，您可以调用factor ：

In [47]: f2
Out[47]: 
         ⎛ 2    2⎞       
       2⋅⎝x  + y ⎠       
─────────────────────────
 3      2          2    3
x  - 3⋅x ⋅y + 3⋅x⋅y  - y 

In [48]: factor(f2)
Out[48]: 
  ⎛ 2    2⎞
2⋅⎝x  + y ⎠
───────────
         3 
  (x - y)