生成隨機確定性有限自動機的算法是什么？

Question

DFA必須具有以下四個屬性：

• DFA有N個節點

• 每個節點有2個傳出轉換。

• 每個節點都可以從每個其他節點到達。

• 從所有可能性中選擇DFA具有完全均勻的隨機性

這是我到目前為止：

1. 從N個節點的集合開始。
2. 選擇尚未選擇的節點。
3. 將其輸出連接到其他2個隨機選擇的節點
4. 標記一個轉換1，另一個轉換0。
5. 除非已選擇所有節點，否則轉到2。
6. 確定是否存在沒有傳入連接的節點。
7. 如果是，則從具有多於1個傳入連接的節點竊取傳入連接。
8. 轉到6，除非沒有沒有傳入連接的節點

但是，這是算法不正確。 考慮圖表，其中節點1有兩個連接到節點2（反之亦然），而節點3有兩個連接到節點4（反之亦然）。 這就是：

1 <==> 2

3 <==> 4

其中，通過<==>我的意思是兩種方式的兩個傳出連接（所以總共4個連接）。 這似乎形成了兩個派系，這意味着並非每個州都可以從其他所有州獲得。

有誰知道如何完成算法？ 或者，有沒有人知道另一種算法？ 我似乎模糊地回憶起可以使用二叉樹來構造它，但我不確定。

Answer 1

強連接是一個困難的約束。 讓我們生成均勻的隨機投射過渡函數，然后使用例如Tarjan的線性時間SCC算法對它們進行測試，直到得到一個強連接的算法。 這個過程有正確的分布，但不清楚它是否有效; 我的研究人員的直覺是，強連通性的極限概率小於1但大於0，這意味着只有O（1）迭代在期望中是必要的。

生成滿射過渡函數本身就是不平凡的。 不幸的是，如果沒有這種限制，每個州都有一個進入過渡的指數不可能。 使用此問題的答案中描述的算法來采樣{（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），...，（N，a）的均勻隨機分區， （N，b）}有N個部分。 隨機置換節點並將它們分配給零件。

例如，設N = 3並假設隨機分區為

{{(1, a), (2, a), (3, b)}, {(2, b)}, {(1, b), (3, a)}}.

我們選擇隨機置換2,3,1並導出轉移函數

(1, a) |-> 2
(1, b) |-> 1
(2, a) |-> 2
(2, b) |-> 3
(3, a) |-> 1
(3, b) |-> 2

Answer 2

有一個預期的運行時間O（n ^ {3/2}）算法。

如果生成具有m個頂點的均勻隨機有向圖，使得每個頂點具有k個標記的外弧（k-out有向圖），那么該有向圖中最大SCC（強連通分量）的大小約為c_k m，其中c_k是常數，取決於k。 實際上，這個SCC的大小恰好是c_k m（四舍五入為整數）的概率約為1 / \\ sqrt {m}。

因此，您可以生成大小為n / c_k的均勻隨機2-out圖，並檢查最大SCC的大小。 如果它的大小不完全是n，那么再試一次直到成功。 預期的試驗次數是\\ sqrt {n}。 生成每個有向圖應該在O（n）時間內完成。 因此總的來說算法預期運行時間為O（n ^ {3/2}）。 有關詳細信息，請參閱此文章 。

Answer 3

在下文中，我將使用圖論的基本術語。

你可以：

1. 從具有N個頂點且沒有弧的有向圖開始。
2. 生成N個頂點的隨機排列以產生隨機哈密頓循環，並將其添加到圖中。
3. 對於每個頂點，將一個外出弧添加到隨機選擇的頂點。

結果將滿足所有三個要求。

Answer 4

以下參考文獻似乎與您的問題相關：

F. Bassino，J。David和C. Nicaud，可能不完全確定性自動機的計數和隨機生成， 純數學和應用 19 （2-3）（2009）1-16。

F. Bassino和C. Nicaud。 可訪問自動機的枚舉和隨機生成。 理論值。 比較。 SC。 。 381 （2007）86-104。

Answer 5

只需保持一組可以訪問的節點。 一旦他們都可以到達，填寫空白。

Start with a set of N nodes called A.
Choose a node from A and put it in set B.
While there are nodes left in set A
    Choose a node x from set A
    Choose a node y from set B with less than two outgoing transitions.
    Choose a node z from set B
    Add a transition from y to x.
    Add a transition from x to z
    Move x to set B
For each node n in B
    While n has less than two outgoing transitions
         Choose a node m in B
         Add a transition from n to m
Choose a node to be the start node.
Choose some number of nodes to be accepting nodes.

集合B中的每個節點都可以到達集合B中的每個節點。只要可以從集合B中的節點到達節點並且該節點可以到達集合B中的節點，就可以將其添加到集合中。

Answer 6

我能想到的最簡單的方法是（統一）生成一個隨機DFA，每個節點有N節點和兩個傳出邊，忽略其他約束，然后扔掉任何沒有強連接的（這很容易使用一個強連通分量算法）。 在沒有可達性約束的情況下，生成統一的DFA應該是直截了當的。 在性能方面可能存在問題的一件事是，在找到具有可達性屬性的DFA之前，您需要跳過多少個DFA。 但是，您應該首先嘗試此算法，並查看它最終需要多長時間才能生成可接受的DFA。

Answer 7

我們可以從N和2N之間的隨機數量的狀態N1開始。

假設初始狀態為狀態編號1.對於每個狀態，對於輸入字母表中的每個字符，我們生成隨機轉換（在1和N1之間）。

我們從初始狀態開始采用connex自動機。 我們檢查狀態的數量，經過幾次嘗試，我們得到一個N狀態。

如果我們也希望最小的自動機，那么只保留最終狀態的分配，但是隨機分配也很有可能獲得最小的自動機。