具有有限自動機的字符串匹配

Question

我正在閱讀Cormen的書“算法導論”中的字符串算法。 對於過渡，如下所示。

我的問題：為什么我們要做min(m+1, q+2) ，為什么我們要m遞增1，q遞增2。

以下鏈接有上述問題。

http://people.scs.carleton.ca/~maheshwa/courses/5703COMP/Fall2009/StringMatching.pdf

請幫助一個簡單的例子。

Algorithm Compute-Transition-Function(P, Sigma)
m = length(P);
for  q = 0 through m  do
   for each character  x  in Sigma
       k = min(m+1, q+2);
       repeat  k = k-1  // work backwards from q+1
       until  Pk 'is-suffix-of' Pqx;
       d(q, x) = k; // assign transition table
   end for;
end for;

return  d;
End algorithm.

Answer 1

• 它是m + 1因為在下一個repeat循環中， k首先減小。
• 這是q + 2因為在repeat你開始然后用q + 1所以至少有1個字符。

  ---

以下代碼可能存在邊界問題（q == m丟失），但希望使索引更清晰。

m = length(P);
for  q = 0 through m - 1 do // Loop through substrings [0, q+1]
   for each character  x  in Sigma
       k = q+1;
       // work backwards from q+1
       while not Pk 'is-suffix-of' Pqx;
       do k = k-1; end do;
       d(q, x) = k; // assign transition table
   end for;
end for;

return  d;

Answer 2

代碼已被解釋，所以這里是一個例子來看看發生了什么

假設字符串是nan​​o

所以我們希望我們的狀態與模式部分匹配。 與"nano"部分匹配可能是"", "n", "na", "nan", or (the complete match) "nano"本身。 換句話說，它們只是字符串的前綴。 一般來說，如果模式有m個字符，我們需要m + 1個狀態; 這里m = 4，有五個州。

如果我們剛看到"...nan" ，看到另一個字符"x" ，我們應該去哪個州？ 顯然，如果x是匹配中的下一個字符（這里是“o”），我們應該轉到下一個更長的前綴（這里是“nano”）。 很明顯，一旦我們看到完全匹配，我們就會保持這種狀態。 但是假設我們看到一個不同的角色，比如"a" ？ 這意味着到目前為止，字符串看起來像"...nana" 。 我們可能會遇到的最長的部分匹配只是"na" ，即我們可以利用最后2個字符。 因此，從狀態"nan" ，我們應繪制一個標記為"a"的箭頭，將狀態為"na" 。 請注意， "na"是"nano" （因此是狀態）的前綴，並且是"nana"的后綴（因此是與我們剛剛看到的部分匹配的部分）。

通常，從狀態+字符到狀態的過渡是最長的字符串，它同時是原始模式的前綴和我們剛剛看到的狀態+字符的后綴。 這足以告訴我們所有轉換應該是什么。 如果我們正在尋找模式"nano" ，那么過渡表就是

     n       a       o      other
    ---     ---     ---     ---
empty:  "n"     empty   empty   empty       
"n":    "n"     "na"    empty   empty
"na":   "nan"   empty   empty   empty   
"nan":  "n"     "na"    "nano"  empty    //just as an illustration, nan + n = n because we can only use the last 'n', nan + a = na because now we can use the last two 'na'
"nano": "nano"  "nano"  "nano"  "nano"

那么現在我們如何使用這個表來實際進行模式搜索？

在字符串"banananona"上模擬這個，我們得到狀態序列為空，空， "n", "na", "nan", "na", "nan", "nano", "nano", "nano"通過一次移動一個角色。 由於我們以狀態"nano"結束，因此該字符串在某處包含"nano" 。 所以讓我們來看看最新情況以及如何使用上面的表格，在'b'，我們沒有任何可能的狀態'n', 'na', 'nan', 'nano' 。 所以它算得空了......就像我們到了'ba' 。 當我們打到下一個字符'n' ，基本上是從空到n，因此我們使用上面的表，並看到它以'n'結尾。 現在我們得到了banananona的4個角色，所以我們從'n'開始添加...再次我們使用該表並看到它最終處於'na'狀態，依此類推......

Answer 3

轉換表中的條目d(q,x)包含消耗字符x后模式的最長匹配前綴的長度，如果在消耗x之前，最長匹配前綴是q字符長。 因為我們消耗一個字母，所以它不能大於q+1 ，並且由於該模式具有長度m ，所以它也可以最多為m 。 內循環repeat k = k-1 until condition(k) ，因此在測試任何東西之前， k都會遞減，因此k必須以大於最大可能結果的1開始， k = min(m,q+1) + 1 。 如果內部循環是while negated_condition(k) { k = k-1; } while negated_condition(k) { k = k-1; } ，將從k = min(m,q+1) 。

注意，通過將邊界表用於Knuth-Morris-Pratt算法，可以更高效地計算轉換表。