具有有限自动机的字符串匹配

Question

我正在阅读Cormen的书“算法导论”中的字符串算法。 对于过渡，如下所示。

我的问题：为什么我们要做min(m+1, q+2) ，为什么我们要m递增1，q递增2。

以下链接有上述问题。

http://people.scs.carleton.ca/~maheshwa/courses/5703COMP/Fall2009/StringMatching.pdf

请帮助一个简单的例子。

Algorithm Compute-Transition-Function(P, Sigma)
m = length(P);
for  q = 0 through m  do
   for each character  x  in Sigma
       k = min(m+1, q+2);
       repeat  k = k-1  // work backwards from q+1
       until  Pk 'is-suffix-of' Pqx;
       d(q, x) = k; // assign transition table
   end for;
end for;

return  d;
End algorithm.

Answer 1

• 它是m + 1因为在下一个repeat循环中， k首先减小。
• 这是q + 2因为在repeat你开始然后用q + 1所以至少有1个字符。

  ---

以下代码可能存在边界问题（q == m丢失），但希望使索引更清晰。

m = length(P);
for  q = 0 through m - 1 do // Loop through substrings [0, q+1]
   for each character  x  in Sigma
       k = q+1;
       // work backwards from q+1
       while not Pk 'is-suffix-of' Pqx;
       do k = k-1; end do;
       d(q, x) = k; // assign transition table
   end for;
end for;

return  d;

Answer 2

代码已被解释，所以这里是一个例子来看看发生了什么

假设字符串是nan​​o

所以我们希望我们的状态与模式部分匹配。 与"nano"部分匹配可能是"", "n", "na", "nan", or (the complete match) "nano"本身。 换句话说，它们只是字符串的前缀。 一般来说，如果模式有m个字符，我们需要m + 1个状态; 这里m = 4，有五个州。

如果我们刚看到"...nan" ，看到另一个字符"x" ，我们应该去哪个州？ 显然，如果x是匹配中的下一个字符（这里是“o”），我们应该转到下一个更长的前缀（这里是“nano”）。 很明显，一旦我们看到完全匹配，我们就会保持这种状态。 但是假设我们看到一个不同的角色，比如"a" ？ 这意味着到目前为止，字符串看起来像"...nana" 。 我们可能会遇到的最长的部分匹配只是"na" ，即我们可以利用最后2个字符。 因此，从状态"nan" ，我们应绘制一个标记为"a"的箭头，将状态为"na" 。 请注意， "na"是"nano" （因此是状态）的前缀，并且是"nana"的后缀（因此是与我们刚刚看到的部分匹配的部分）。

通常，从状态+字符到状态的过渡是最长的字符串，它同时是原始模式的前缀和我们刚刚看到的状态+字符的后缀。 这足以告诉我们所有转换应该是什么。 如果我们正在寻找模式"nano" ，那么过渡表就是

     n       a       o      other
    ---     ---     ---     ---
empty:  "n"     empty   empty   empty       
"n":    "n"     "na"    empty   empty
"na":   "nan"   empty   empty   empty   
"nan":  "n"     "na"    "nano"  empty    //just as an illustration, nan + n = n because we can only use the last 'n', nan + a = na because now we can use the last two 'na'
"nano": "nano"  "nano"  "nano"  "nano"

那么现在我们如何使用这个表来实际进行模式搜索？

在字符串"banananona"上模拟这个，我们得到状态序列为空，空， "n", "na", "nan", "na", "nan", "nano", "nano", "nano"通过一次移动一个角色。 由于我们以状态"nano"结束，因此该字符串在某处包含"nano" 。 所以让我们来看看最新情况以及如何使用上面的表格，在'b'，我们没有任何可能的状态'n', 'na', 'nan', 'nano' 。 所以它算得空了......就像我们到了'ba' 。 当我们打到下一个字符'n' ，基本上是从空到n，因此我们使用上面的表，并看到它以'n'结尾。 现在我们得到了banananona的4个角色，所以我们从'n'开始添加...再次我们使用该表并看到它最终处于'na'状态，依此类推......

Answer 3

转换表中的条目d(q,x)包含消耗字符x后模式的最长匹配前缀的长度，如果在消耗x之前，最长匹配前缀是q字符长。 因为我们消耗一个字母，所以它不能大于q+1 ，并且由于该模式具有长度m ，所以它也可以最多为m 。 内循环repeat k = k-1 until condition(k) ，因此在测试任何东西之前， k都会递减，因此k必须以大于最大可能结果的1开始， k = min(m,q+1) + 1 。 如果内部循环是while negated_condition(k) { k = k-1; } while negated_condition(k) { k = k-1; } ，将从k = min(m,q+1) 。

注意，通过将边界表用于Knuth-Morris-Pratt算法，可以更高效地计算转换表。