[英]What is the most efficient way of finding all the factors of a number in Python?
有人可以向我解釋一種找到 Python (2.7) 中數字的所有因子的有效方法嗎?
我可以創建一個算法來執行此操作,但我認為它的編碼很差,並且需要很長時間才能為大量結果生成結果。
from functools import reduce
def factors(n):
return set(reduce(list.__add__,
([i, n//i] for i in range(1, int(n**0.5) + 1) if n % i == 0)))
這將很快返回數字n
所有因子。
為什么平方根作為上限?
sqrt(x) * sqrt(x) = x
。 因此,如果兩個因數相同,則它們都是平方根。 如果您將一個因素放大,則必須使另一個因素變小。 這意味着兩者之一將始終小於或等於sqrt(x)
,因此您只需搜索到該點即可找到兩個匹配因子之一。 然后,您可以使用x / fac1
得到fac2
。
reduce(list.__add__, ...)
將[fac1, fac2]
的小列表合並到一個長列表中。
[i, n/i] for i in range(1, int(sqrt(n)) + 1) if n % i == 0
如果將n
除以較小的余數時的余數[i, n/i] for i in range(1, int(sqrt(n)) + 1) if n % i == 0
返回一對因子(它也不需要檢查較大的;它只是通過將n
除以較小的來獲得。)
外面的set(...)
正在擺脫重復,這只會發生在完美的正方形上。 對於n = 4
,這將返回2
兩次,因此set
擺脫了其中之一。
@agf 提出的解決方案很棒,但是通過檢查奇偶校驗可以將任意奇數的運行時間縮短約 50%。 由於奇數的因數本身總是奇數,因此在處理奇數時無需檢查這些。
我剛剛開始自己解決Project Euler難題。 在某些問題中,在兩個嵌套的for
循環中調用除數檢查,因此該函數的性能至關重要。
將此事實與 agf 的出色解決方案相結合,我最終得到了此功能:
from functools import reduce
from math import sqrt
def factors(n):
step = 2 if n%2 else 1
return set(reduce(list.__add__,
([i, n//i] for i in range(1, int(sqrt(n))+1, step) if n % i == 0)))
但是,對於較小的數字 (~ < 100),此更改帶來的額外開銷可能會導致函數花費更長的時間。
我進行了一些測試以檢查速度。 下面是使用的代碼。 為了生成不同的圖,我相應地更改了X = range(1,100,1)
。
import timeit
from math import sqrt
from matplotlib.pyplot import plot, legend, show
def factors_1(n):
step = 2 if n%2 else 1
return set(reduce(list.__add__,
([i, n//i] for i in range(1, int(sqrt(n))+1, step) if n % i == 0)))
def factors_2(n):
return set(reduce(list.__add__,
([i, n//i] for i in range(1, int(sqrt(n)) + 1) if n % i == 0)))
X = range(1,100000,1000)
Y = []
for i in X:
f_1 = timeit.timeit('factors_1({})'.format(i), setup='from __main__ import factors_1', number=10000)
f_2 = timeit.timeit('factors_2({})'.format(i), setup='from __main__ import factors_2', number=10000)
Y.append(f_1/f_2)
plot(X,Y, label='Running time with/without parity check')
legend()
show()
X = 范圍(1,100,1)
這里沒有顯着差異,但數字越大,優勢就很明顯:
X = range(1,100000,1000)(僅奇數)
X = range(2,100000,100)(僅偶數)
X = range(1,100000,1001)(交替奇偶校驗)
agf 的回答真的很酷。 我想看看是否可以重寫它以避免使用reduce()
。 這就是我想出的:
import itertools
flatten_iter = itertools.chain.from_iterable
def factors(n):
return set(flatten_iter((i, n//i)
for i in range(1, int(n**0.5)+1) if n % i == 0))
我還嘗試了一個使用棘手的生成器函數的版本:
def factors(n):
return set(x for tup in ([i, n//i]
for i in range(1, int(n**0.5)+1) if n % i == 0) for x in tup)
我通過計算來計時:
start = 10000000
end = start + 40000
for n in range(start, end):
factors(n)
我跑了一次讓Python編譯,然后在time(1)命令下跑了3次,保持最佳時間。
請注意,itertools 版本正在構建一個元組並將其傳遞給 flatten_iter()。 如果我更改代碼來構建列表,它會稍微減慢速度:
我相信棘手的生成器函數版本是 Python 中最快的。 但它並不比 reduce 版本快多少,根據我的測量,大約快 4%。
SymPy 中有一個行業強度的算法,稱為factorint :
>>> from sympy import factorint
>>> factorint(2**70 + 3**80)
{5: 2,
41: 1,
101: 1,
181: 1,
821: 1,
1597: 1,
5393: 1,
27188665321L: 1,
41030818561L: 1}
這花了不到一分鍾。 它在多種方法之間切換。 請參閱上面鏈接的文檔。
給定所有主要因素,所有其他因素都可以輕松構建。
請注意,即使允許接受的答案運行足夠長的時間(即永恆)來分解上述數字,對於某些大數字,它也會失敗,例如以下示例。 這是由於草率的int(n**0.5)
。 例如,當n = 10000000000000079**2
,我們有
>>> int(n**0.5)
10000000000000078L
由於10000000000000079 是一個質數,接受的答案的算法永遠不會找到這個因素。 請注意,這不僅僅是一對一的; 對於較大的數字,它會減少更多。 出於這個原因,最好避免在此類算法中使用浮點數。
這是@agf 解決方案的替代方案,它以更pythonic 的風格實現了相同的算法:
def factors(n):
return set(
factor for i in range(1, int(n**0.5) + 1) if n % i == 0
for factor in (i, n//i)
)
此解決方案適用於 Python 2 和 Python 3,無需導入,並且更具可讀性。 我還沒有測試過這種方法的性能,但漸近地它應該是一樣的,如果性能是一個嚴重的問題,那么兩種解決方案都不是最佳的。
對於高達 10**16(甚至更多)的 n,這是一個快速的純 Python 3.6 解決方案,
from itertools import compress
def primes(n):
""" Returns a list of primes < n for n > 2 """
sieve = bytearray([True]) * (n//2)
for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
if sieve[i//2]:
sieve[i*i//2::i] = bytearray((n-i*i-1)//(2*i)+1)
return [2,*compress(range(3,n,2), sieve[1:])]
def factorization(n):
""" Returns a list of the prime factorization of n """
pf = []
for p in primeslist:
if p*p > n : break
count = 0
while not n % p:
n //= p
count += 1
if count > 0: pf.append((p, count))
if n > 1: pf.append((n, 1))
return pf
def divisors(n):
""" Returns an unsorted list of the divisors of n """
divs = [1]
for p, e in factorization(n):
divs += [x*p**k for k in range(1,e+1) for x in divs]
return divs
n = 600851475143
primeslist = primes(int(n**0.5)+1)
print(divisors(n))
agf 答案的另一種方法:
def factors(n):
result = set()
for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
div, mod = divmod(n, i)
if mod == 0:
result |= {i, div}
return result
求一個數的因數的最簡單方法:
def factors(x):
return [i for i in range(1,x+1) if x%i==0]
我已經用 timeit 嘗試了大多數這些精彩的答案,以將它們的效率與我的簡單功能進行比較,但我經常看到我的性能優於此處列出的那些。 我想我會分享它,看看大家的想法。
def factors(n):
results = set()
for i in xrange(1, int(math.sqrt(n)) + 1):
if n % i == 0:
results.add(i)
results.add(int(n/i))
return results
正如它所寫的那樣,您必須導入數學來進行測試,但是將 math.sqrt(n) 替換為 n**.5 應該也能正常工作。 我不想浪費時間檢查重復項,因為無論如何重復項都不能存在於集合中。
進一步改進 afg & eryksun 的解決方案。 以下代碼返回所有因素的排序列表,而不會改變運行時漸近復雜度:
def factors(n):
l1, l2 = [], []
for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
q,r = n//i, n%i # Alter: divmod() fn can be used.
if r == 0:
l1.append(i)
l2.append(q) # q's obtained are decreasing.
if l1[-1] == l2[-1]: # To avoid duplication of the possible factor sqrt(n)
l1.pop()
l2.reverse()
return l1 + l2
想法:而不是使用 list.sort() 函數來獲得一個排序列表,它給出了 nlog(n) 復雜度; 在需要 O(n) 復雜度的 l2 上使用 list.reverse() 要快得多。 (python 就是這樣制作的。)在 l2.reverse() 之后,可以將 l2 附加到 l1 以獲得排序的因子列表。
請注意, l1 包含i -s 正在增加。 l2 包含正在減少的q -s。 這就是使用上述想法的原因。
這是另一種沒有減少的替代方法,它在大數字上表現良好。 它使用sum
來展平列表。
def factors(n):
return set(sum([[i, n//i] for i in xrange(1, int(n**0.5)+1) if not n%i], []))
對於不尋常的數字,比如 99,它有 3*3*11 和floor sqrt(99)+1 == 10
一定要抓住大於sqrt(number_to_factor)
的數字。
import math
def factor(x):
if x == 0 or x == 1:
return None
res = []
for i in range(2,int(math.floor(math.sqrt(x)+1))):
while x % i == 0:
x /= i
res.append(i)
if x != 1: # Unusual numbers
res.append(x)
return res
如果您想使用素數來加快速度,這是一個示例。 這些列表很容易在互聯網上找到。 我在代碼中添加了注釋。
# http://primes.utm.edu/lists/small/10000.txt
# First 10000 primes
_PRIMES = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349,
353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541,
547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601,
607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,
661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733,
739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809,
811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,
877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941,
947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013,
# Mising a lot of primes for the purpose of the example
)
from bisect import bisect_left as _bisect_left
from math import sqrt as _sqrt
def get_factors(n):
assert isinstance(n, int), "n must be an integer."
assert n > 0, "n must be greather than zero."
limit = pow(_PRIMES[-1], 2)
assert n <= limit, "n is greather then the limit of {0}".format(limit)
result = set((1, n))
root = int(_sqrt(n))
primes = [t for t in get_primes_smaller_than(root + 1) if not n % t]
result.update(primes) # Add all the primes factors less or equal to root square
for t in primes:
result.update(get_factors(n/t)) # Add all the factors associted for the primes by using the same process
return sorted(result)
def get_primes_smaller_than(n):
return _PRIMES[:_bisect_left(_PRIMES, n)]
一種可能比這里已經介紹的算法更有效的算法(特別是如果n
有小的素n
)。 這里的技巧是在每次找到質因數時調整需要試除的限制:
def factors(n):
'''
return prime factors and multiplicity of n
n = p0^e0 * p1^e1 * ... * pk^ek encoded as
res = [(p0, e0), (p1, e1), ..., (pk, ek)]
'''
res = []
# get rid of all the factors of 2 using bit shifts
mult = 0
while not n & 1:
mult += 1
n >>= 1
if mult != 0:
res.append((2, mult))
limit = round(sqrt(n))
test_prime = 3
while test_prime <= limit:
mult = 0
while n % test_prime == 0:
mult += 1
n //= test_prime
if mult != 0:
res.append((test_prime, mult))
if n == 1: # only useful if ek >= 3 (ek: multiplicity
break # of the last prime)
limit = round(sqrt(n)) # adjust the limit
test_prime += 2 # will often not be prime...
if n != 1:
res.append((n, 1))
return res
這當然還是試師,沒什么好看的。 因此它的效率仍然非常有限(特別是對於沒有小除數的大數)。
這是python3; 除法//
應該是您唯一需要適應 python 2 的東西( from __future__ import division
添加)。
使用set(...)
會使代碼稍微變慢,並且只有在檢查平方根時才真正需要。 這是我的版本:
def factors(num):
if (num == 1 or num == 0):
return []
f = [1]
sq = int(math.sqrt(num))
for i in range(2, sq):
if num % i == 0:
f.append(i)
f.append(num/i)
if sq > 1 and num % sq == 0:
f.append(sq)
if sq*sq != num:
f.append(num/sq)
return f
if sq*sq != num:
條件對於像 12 這樣的數字是必要的,其中平方根不是整數,但平方根的下限是一個因子。
請注意,此版本不會返回數字本身,但如果您需要,這很容易解決。 輸出也沒有排序。
我計時它在所有數字 1-200 上運行 10000 次,在所有數字 1-5000 上運行 100 次。 它優於我測試過的所有其他版本,包括 dansalmo、Jason Schorn、oxrock、agf、steveha 和 eryksun 的解決方案,盡管 oxrock 是迄今為止最接近的。
當我看到這個問題時,我感到非常驚訝,即使 numpy 比 python 循環快得多,也沒有人使用 numpy。 通過使用 numpy 實施@agf 的解決方案,結果平均快了8 倍。 我相信,如果您在 numpy 中實現了其他一些解決方案,您可以獲得驚人的時間。
這是我的功能:
import numpy as np
def b(n):
r = np.arange(1, int(n ** 0.5) + 1)
x = r[np.mod(n, r) == 0]
return set(np.concatenate((x, n / x), axis=None))
請注意,x 軸的數字不是函數的輸入。 函數的輸入是 x 軸上的數字減 1 的 2。所以輸入十是 2**10-1 = 1023
你的最大因素不超過你的數字,所以,讓我們說
def factors(n):
factors = []
for i in range(1, n//2+1):
if n % i == 0:
factors.append (i)
factors.append(n)
return factors
瞧!
import math
'''
I applied finding prime factorization to solve this. (Trial Division)
It's not complicated
'''
def generate_factors(n):
lower_bound_check = int(math.sqrt(n)) # determine lowest bound divisor range [16 = 4]
factors = set() # store factors
for divisors in range(1, lower_bound_check + 1): # loop [1 .. 4]
if n % divisors == 0:
factors.add(divisors) # lower bound divisor is found 16 [ 1, 2, 4]
factors.add(n // divisors) # get upper divisor from lower [ 16 / 1 = 16, 16 / 2 = 8, 16 / 4 = 4]
return factors # [1, 2, 4, 8 16]
print(generate_factors(12)) # {1, 2, 3, 4, 6, 12} -> pycharm output
Pierre Vriens hopefully this makes more sense. this is an O(nlogn) solution.
如果您不想使用任何庫,那么我認為這是最簡單的方法
def factors(n):
l=[] #emoty list
# appending the factors in the list
for i in range(1,n+1):
if n%i==0:
l.append(i)
我是一名中級程序員。 所以以防萬一,如果我錯了,請糾正我
使用像以下列表推導這樣簡單的東西,注意我們不需要測試 1 和我們試圖找到的數字:
def factors(n):
return [x for x in range(2, n//2+1) if n%x == 0]
關於平方根的使用,假設我們要找到 10 的因數。 sqrt(10) = 4
的整數部分因此range(1, int(sqrt(10))) = [1, 2, 3, 4]
並且測試多達 4 次顯然錯過了 5 次。
除非我遺漏了一些我建議的東西,如果你必須這樣做,使用int(ceil(sqrt(x)))
。 當然,這會產生大量不必要的函數調用。
我認為為了可讀性和速度@oxrock 的解決方案是最好的,所以這里是為 python 3+ 重寫的代碼:
def num_factors(n):
results = set()
for i in range(1, int(n**0.5) + 1):
if n % i == 0: results.update([i,int(n/i)])
return results
循環,直到在元組的 x 或 v 中找到重復項,其中 x 是分母,v 是結果。
number=30
tuple_list=[]
for i in np.arange(1,number):
if number%i==0:
other=int(number/i)
if any([(x,v) for (x,v) in tuple_list if (i==x) or (i==v)])==True:
break
tuple_list.append((i,other))
flattened = [item for sublist in tuple_list for item in sublist]
print(sorted(flattened))
輸出
[1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30]
我在 python 中使用 cypari 庫找到了一個簡單的解決方案。 這是一個鏈接!
import cypari
def get_divisors(n):
divisors = cypari.pari('divisors({})'.format(n))
return divisors
print(get_divisors(24))
輸出
[1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24]
我們可以使用以下 lambda 函數,
factor = lambda x:[(ele,x/ele) for ele in range(1,x//2+1) if x%ele==0 ]
因素(10)
輸出:[(1, 10.0), (2, 5.0), (5, 2.0)]
此函數返回列表中給定數字的所有因子。
雖然問題是 Python (2.7),但人們可能會對這個使用 Numpy 的簡單解決方案感興趣。
import numpy as np
t=np.arange(2,n,1)
t[n%t==0]
這不會返回1
也不會返回數字本身n
。 因此,如果n
是素數,它將返回一個空數組。
考慮到數字是正數 integer,您可以使用這種方法:
number = int(input("Enter a positive number to find factors: "))
factor = [num for num in range(1,number+1) if number % num == 0]
for fac in factor: print(f"{fac} is a factor of {number}")
我有點驚訝我找不到 integer 形式的素數分解的簡單實現(p1 ** e1) * (p2 ** e2)...
,所以我決定自己寫一個。
from collections import defaultdict
from itertools import count
def factorize(n):
factors = defaultdict(int)
for i in count(2):
while n % i == 0:
factors[i] += 1
n /= i
if n == 1:
return factors
這個 function 返回一個字典,其中鍵是質數因子,值是指數。 例如:
>>> factorize(608)
defaultdict(<class 'int'>, {2: 5, 19: 1})
>>> factorize(1152)
defaultdict(<class 'int'>, {2: 7, 3: 2})
>>> factorize(1088)
defaultdict(<class 'int'>, {2: 6, 17: 1})
這顯然不是最有效的實現——因為它迭代整個自然數集,而不是直接針對素數——但它對於相對較小的值來說已經足夠好了,而且足夠簡單,易於理解。
import 'dart:math';
generateFactorsOfN(N){
//determine lowest bound divisor range
final lowerBoundCheck = sqrt(N).toInt();
var factors = Set<int>(); //stores factors
/**
* Lets take 16:
* 4 = sqrt(16)
* start from 1 ... 4 inclusive
* check mod 16 % 1 == 0? set[1, (16 / 1)]
* check mod 16 % 2 == 0? set[1, (16 / 1) , 2 , (16 / 2)]
* check mod 16 % 3 == 0? set[1, (16 / 1) , 2 , (16 / 2)] -> unchanged
* check mod 16 % 4 == 0? set[1, (16 / 1) , 2 , (16 / 2), 4, (16 / 4)]
*
* ******************* set is used to remove duplicate
* ******************* case 4 and (16 / 4) both equal to 4
* return factor set<int>.. this isn't ordered
*/
for(var divisor = 1; divisor <= lowerBoundCheck; divisor++){
if(N % divisor == 0){
factors.add(divisor);
factors.add(N ~/ divisor); // ~/ integer division
}
}
return factors;
}
我認為這是最簡單的方法:
x = 23
i = 1
while i <= x:
if x % i == 0:
print("factor: %s"% i)
i += 1
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