如何證明后續算法的正確性？

Question

我需要證明以下算法可以正常工作，我知道歸納法，但是在這里不知道如何使用它？如果我知道算法的復雜性，它的最優性，我也會很高興。 這是什么時間？請幫幫我

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#define c 2
//we should take c   more ot equal  then 2
using namespace std;
int multiply(int y,int z){
      // product yz
    if(z==0) return 0;
    return (multiply(c*y,int(z/c))+y*(z %c));
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int y=5;
    int z=7;
    cout<<multiply(y,z)<<endl;
    system("PAUSE");
    return EXIT_SUCCESS;
}

謝謝

Answer 1

1）對於z=0您的函數顯然是正確的

2）假設multiply(x, y)對於0 <= y < y0返回x*y 。 然后

  x*y
= x*((y/c)*c + y%c)    # by the definition of %
= x*c*(y/c) + x*(y%c)  # distributive, commutative laws
= multiply(x*c, y/c) + x*(y%c) # 0 <= y/c < y, induction hypothesis

Answer 2

由於這是一項家庭作業，因此我僅給出提示。

首先，函數中有一個if 。 在z = 0的情況下，證明正確性是微不足道的。

接下來，如果z> 0，則需要檢查兩件事：

首先，不變量：您必須檢查一下，假設乘法在遞歸調用中正確工作，返回的值確實是兩個數字的乘積。

第二：您必須證明該函數最終會返回，即無論您給出哪個數字，最終都將到達該函數不再遞歸調用自身的地步。 提示：查看參數的二進制表示形式，以及對其進行二乘和二除的運算。

那時，確定算法的復雜度也應該很容易。

Answer 3

提取公式進行迭代。 然后證明它為n = 1，n = 2，..之后證明步驟n => n + 1 ..如果您不知道該怎么做，請訪問https://math.stackexchange.com/

Answer 4

1. 我不會使用“ *”運算符

   乘（c * y，int（z / c））+ y *（z％c）

應該

multiply(multiply(c,y),int(z/c))+multiply(y,(z %c))

1. 正如Josep提到的那樣，使用'*'運算符進行計算，並使用ur乘法（）進行相同的計算。 將結果與精確度進行比較。

2. 為了節省時間。 在執行main方法中的time方法之前。 通話時間庫

   time_t startTime =時間（NULL）; cout <<乘（y，z）<< endl; time_t endTime =時間（NULL）; cout <<（endTime-startTime）<<“ sec”;