同時考慮節點和邊的圖上路徑查找算法

Question

我有一個無向圖。 現在，假設該圖已完成。 每個節點都有一個與之關聯的特定值。 所有邊緣的重量都為正。 我想找到任意兩個給定節點之間的路徑，以使與該路徑節點關聯的值的總和最大，同時路徑長度在給定的閾值內。 解決方案應該是“全局”的，這意味着在所有可能的路徑中獲得的路徑應該是最佳的。 我嘗試了線性編程方法，但無法正確地表述它。 任何建議或其他解決方法都會有很大幫助。

謝謝！

Answer 1

這可能並不完美，但是如果閾值（T）足夠小，則可以在O（n ^ 3 T ^ 2）中運行一個簡單的算法。 這是Floyd-Warshall的一個小修改。

d = int array with size n x n x (T + 1)
initialize all d[i][j][k] to -infty
for i in nodes:
    d[i][i][0] = value[i]
for e:(u, v) in edges:
    d[u][v][w(e)] = value[u] + value[v]

for t in 1 .. T
    for k in nodes:
       for t' in 1..t-1:
           for i in nodes:
               for j in nodes:           
                  d[i][j][t] = max(d[i][j][t],
                                   d[i][k][t'] + d[k][j][t-t'] - value[k])

The result is the pair (i, j) with the maximum d[i][j][t] for all t in 0..T

編輯： 這假設允許路徑不簡單，它們可以包含循環。

EDIT2： 這還假定，如果一個節點在路徑中出現多次，則將被計數一次以上。 這顯然不是OP想要的！

Answer 2

如果您在一般圖中尋找算法，則問題是NP-Complete，假設路徑長度閾值是n-1，並且每個頂點的值為1 ，如果找到問題的解決方案，則可以說給定圖具有哈密頓路徑或不。 實際上，如果最大化的頂點大小路徑的值為n ，則您具有哈密頓路徑。 我認為您可以使用Held-Karp松弛之類的方法來找到好的解決方案。

Answer 3

整數程序（這可能是個好主意，也可能不是）：

對於每個頂點v，如果訪問了頂點v，則令x _v為1，否則為0。 對於每個弧，令y是_一個的次數電弧A被使用。 令s為來源，t為目的地。 目的是

最大化∑ _v值（v）x _v 。

約束是

Σ _的值（a）中Y _A≤閾∀v，Σ _{一個具有頭部S} Y _A - Σ _{一個具有尾巴v} Y _A = {-1，如果V = S; 如果v = t，則為1; 否則為0（節省流量）
∀v≠x，x _垂直 ≤Σ _{一個具有頭部S} Y _A（必須輸入一個頂點訪問）
∀v，X _V≤1（訪問最多每個頂點一次）
∀v∉{S，T}，∀cuts期從{S，T}該單獨頂點v，x _垂直 ≤Σ _{一個，使得尾的（a）∉小號∧頭（）∈šY A（}從頂點唯一的好處不在孤立的循環上）。

要求解，請使用松弛值進行分支定界。 不幸的是，最后一組約束的數量是指數的，因此，當您求解寬松的對偶時，需要生成列。 通常，對於連接問題，這意味着重復使用最小切割算法以查找值得執行的切割。 祝好運！

Answer 4

如果僅將節點的權重添加到其出站邊緣的權重，則可以忽略該節點的權重。 然后，您可以使用任何標准算法來解決最短路徑問題 。