如果一種正則語言只包含 Kleene star，那么它是否可能來自兩種非常規語言的串聯？

Question

我想知道給定一個只包含 Kleene 星號運算符（例如 (ab)*）的正則語言 L，是否可以通過兩種非常規語言的串聯生成 L？ 我試圖證明 L 只能由兩種正則語言的串聯生成。

謝謝。

Answer 1

這種說法是錯誤的。 在 Σ = {a} 上考慮這兩種語言：

L ₁ = { 一個ⁿ | n 是二的冪 } ∪ { ε }

L ₂ = { 一個ⁿ | n不是二的冪 } ∪ { ε }

這兩種語言都不是正則的（_第一種可以用Myhill-Nerode定理證明是非正則的，第二種與L1的補碼密切相關，也可以證明是非正則的。

但是，我要聲明 L ₁ L ₂ = a*。 首先，請注意串聯 L ₁ L ₂中的任何字符串都具有 a ⁿ的形式，因此是 a* 的元素。 接下來，取 a* 中的任何字符串； 讓它成為一個ⁿ 。 如果 n 是 2 的冪，則它可以由 L ₁中的ⁿ和 L ₂中的 ε 串聯而成。 否則，n 不是 2 的冪，它可以由 L ₁中的 ε 和 L ₂中的ⁿ串聯而成。 因此，L ₁ L ₂ = a*，所以您要證明的定理是錯誤的。

希望這可以幫助！