如果一种正则语言只包含 Kleene star，那么它是否可能来自两种非常规语言的串联？

Question

我想知道给定一个只包含 Kleene 星号运算符（例如 (ab)*）的正则语言 L，是否可以通过两种非常规语言的串联生成 L？ 我试图证明 L 只能由两种正则语言的串联生成。

谢谢。

Answer 1

这种说法是错误的。 在 Σ = {a} 上考虑这两种语言：

L ₁ = { 一个ⁿ | n 是二的幂 } ∪ { ε }

L ₂ = { 一个ⁿ | n不是二的幂 } ∪ { ε }

这两种语言都不是正则的（_第一种可以用Myhill-Nerode定理证明是非正则的，第二种与L1的补码密切相关，也可以证明是非正则的。

但是，我要声明 L ₁ L ₂ = a*。 首先，请注意串联 L ₁ L ₂中的任何字符串都具有 a ⁿ的形式，因此是 a* 的元素。 接下来，取 a* 中的任何字符串； 让它成为一个ⁿ 。 如果 n 是 2 的幂，则它可以由 L ₁中的ⁿ和 L ₂中的 ε 串联而成。 否则，n 不是 2 的幂，它可以由 L ₁中的 ε 和 L ₂中的ⁿ串联而成。 因此，L ₁ L ₂ = a*，所以您要证明的定理是错误的。

希望这可以帮助！