Python：編寫程序模擬沿弦的一維波運動

Question

我正在研究一個程序，該程序模擬沿一維弦的波浪運動，最終模擬不同的波包。 我在“Python Scripting for Computational Science”一書中找到了一個程序，它聲稱可以描述波動，但我不確定如何實現它（這本書在谷歌圖書上，不會向我展示之前/之后的文字代碼）。

例如，我知道“f”是 x 和 t 的 function，“I”是 x 的 function，但實際上需要什么函數才能產生波？

I= 
f= 
c= 
L= 
n=
dt=
tstop=


x = linespace(0,L,n+1) #grid points in x dir
dx = L/float(n)
if dt <= 0: dt = dx/float(c) #max step time
C2 = (c*dt/dx)**2  #help variable in the scheme
dt2 = dt*dt

up = zeros(n+1) #NumPy solution array
u = up.copy()   #solution at t-dt
um = up.copy()    #solution at t-2*dt

t = 0.0
for i in iseq(0,n):
u[i] +0.5*C2*(u[i-1] - 2*u[i] +u[i+1]) + \
    dt2*f(x[i], t)
um[0] = 0;   um[n] = 0

while t<= tstop:
t_old = t; t+=dt
#update all inner points:
for i in iseq(start=1, stop= n-1):
up[i] = -um[i] +2*u[i] + \
    C2*(u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1]) + \
    dt2*f(x[i], t_old)

#insert boundary conditions
up[0] = 0; up[n] = 0
#updata data structures for next step
um = u.copy(); u = up.copy()

Answer 1

下面的代碼應該工作：

from math import sin, pi
from numpy import zeros, linspace
from scitools.numpyutils import iseq

def I(x):   
    return sin(2*x*pi/L)  

def f(x,t): 
    return 0

def solver0(I, f, c, L, n, dt, tstop):
    # f is a function of x and t, I is a function of x
    x = linspace(0, L, n+1) # grid points in x dir
    dx = L/float(n)
    if dt <= 0: dt = dx/float(c) # max time step
    C2 = (c*dt/dx)**2 # help variable in the scheme
    dt2 = dt*dt

    up = zeros(n+1) # NumPy solution array
    u = up.copy() # solution at t-dt
    um = up.copy() # solution at t-2*dt

    t = 0.0
    for i in iseq(0,n):
        u[i] = I(x[i])
    for i in iseq(1,n-1):
        um[i] = u[i] + 0.5*C2*(u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1]) + \
                dt2*f(x[i], t)

    um[0] = 0; um[n] = 0

    while t <= tstop:
          t_old = t; t += dt
          # update all inner points:
          for i in iseq(start=1, stop=n-1):
              up[i] = - um[i] + 2*u[i] + \
                      C2*(u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1]) + \
                      dt2*f(x[i], t_old)

          # insert boundary conditions:
          up[0] = 0; up[n] = 0
          # update data structures for next step
          um = u.copy(); u = up.copy()
    return u

if __name__ == '__main__':

# When choosing the parameters you should also check that the units are correct

   c = 5100
   L = 1
   n = 10
   dt = 0.1
   tstop = 1
   a = solver0(I, f, c, L, n, dt, tstop)  

它返回一個數組，其中包含波在時間 tstop 和我們解決方案網格中所有點的值。

在將其應用於實際情況之前，您應該閱讀波動方程和有限元方法以了解代碼的作用。 它可以用來求波動方程的數值解：

Utt + beta*Ut = c^2*Uxx + f(x,t)

這是物理學中最重要的微分方程之一。 此 PDE 或波的解由 function 給出，它是空間和時間u(x,t)的 function。

為了形象化波的概念，考慮兩個維度，空間和時間。 如果你固定時間，例如 t1，你將得到 x 的 function：

U(x) = U(x,t=t1) 

然而，在空間的特定點 x1，波是 function 的時間：

U(t) = U(x=x1, t)

這應該有助於您了解波的傳播方式。 為了找到解決方案，您需要施加一些初始條件和邊界條件，以將所有可能的波限制為您感興趣的波。對於這種特殊情況：

• I = I(xi)是我們將施加的使擾動/波運行的初始力。
• 術語f = f(x,t)解釋了產生波的任何外力。
• c為波速； 它是一個常數（假設介質是均勻的）。
• L是我們要求解 PDE 的域的長度； 也是一個常數。
• n是空間中的網格點數。
• dt是一個時間步長。
• tstop是停止時間。