范圍內等概率的隨機數

Question

這可能比 C# 更與數學相關，但我需要一個 C# 解決方案，所以我把它放在這里。

我的問題是關於隨機數生成器的概率，更具體地說，如果每個可能的值都以相等的概率返回。

我知道有Random.Next(int, int)方法，它返回第一個整數和最后一個（最后一個是獨占的）之間的數字。

Random.Next() [無重載] 將返回一個介於 0 和 Int32.MaxValue（即 2147483647）- 1 之間的值，因此為 2147483646。

如果我想要一個 1 到 10 之間的值，我可以調用Random.Next(1, 11)來執行此操作，但是 1 到 10 之間的每個值出現的概率是否相等？

例如，范圍是 10，因此 2147483646 不能完全被 10 整除，因此值 1-6 出現的概率略高（因為2147483646 % 10 = 6 ）。 這當然是假設Random.Next() [無重載] 中的每個值都以相等的概率返回 0 到 2147483646 之間的值。

如何確保一個范圍內的每個數字都有相等的出現概率？ 假設對於彩票類型系統，某些人比其他人擁有更高的概率是不公平的，我並不是說我會為此使用 RNG 中內置的 C#，我只是將其用作示例。

Answer 1

我注意到沒有人真正回答了您帖子中的問題：

例如，范圍是 10，因此 2147483646 不能完全被 10 整除，因此值 1-6 出現的概率略高（因為 2147483646 % 10 = 6）。 這當然是假設 Random.Next() [無重載] 中的每個值都以相等的概率返回 0 到 2147483646 之間的值。

如何確保一個范圍內的每個數字都有相等的出現概率？

是的，所以你只需扔掉導致不平衡的值。 例如，假設您有一個可以在{ 0, 1, 2, 3, 4 }產生均勻分布的 RNG，並且您想用它在{ 0, 1 }上產生均勻分布。 最簡單的實現是：從{0, 1, 2, 3, 4}抽取，然后返回值% 2 ； 然而，這顯然會產生有偏差的樣本。 發生這種情況是因為，正如您所注意到的， 5 （項目數）不能被 2 整除。因此，相反，拋出任何產生值4平局。 因此，該算法將是

 draw from { 0, 1, 2, 3, 4 }
 if the value is 4, throw it out
 otherwise, return the value % 2

您可以使用這個基本思想來解決一般問題。

然而，1 到 10 之間的每個值是否都有相等的發生概率？

是的，它確實。 從MSDN ：

偽隨機數是從有限的一組數字中以相等的概率選擇的。

編輯：顯然文檔與 .NET 中的當前實現不一致。 文檔說明抽簽是統一的，但代碼表明它不是。 然而，這並不能否定這是一個可解決的問題的事實，我的方法是解決它的一種方法。

Answer 2

正如您所期望的，RNG 中內置的 C# 是一種均勻分布的。 給定您為Next(min, max)指定的范圍，每個數字都有相等的發生可能性。

你可以自己測試（我有），比如，100 萬個樣本並存儲每個數字實際出現的次數。 如果你繪制它，你會得到一條幾乎平坦的曲線。

另請注意，每個數字具有相同的可能性並不意味着每個數字將出現相同的次數。 如果您正在查看從 1 到 10 的隨機數，則在 100 次迭代中，每個數字不會出現 10 次出現的均勻分布。 有些數字可能出現 8 次，而其他數字可能出現 12 或 13 次。 然而，隨着更多的迭代，這往往會有所平衡。

此外，由於在評論中提到了它，我將補充說：如果您想要更強大的東西，請查找加密 PRNG。 Mersenne Twister 從我所看到的情況來看特別好（快速、計算成本低、時間長），並且它在 C# 中有開源實現。

Answer 3

測試程序：

var a = new int[10];
var r = new Random();
for (int i = 0; i < 1000000; i++) a[r.Next(1, 11) - 1]++;
for (int i = 0; i < a.Length; i++) Console.WriteLine("{0,2}{1,10}", i + 1, a[i]);

輸出：

1      99924
 2     100199
 3     100568
 4     100406
 5     100114
 6      99418
 7      99759
 8      99573
 9     100121
10      99918

結論：

每個值都以相等的概率返回。

Answer 4

Ashes 和 dtb 是不正確的：您懷疑某些數字比其他數字更容易出現是正確的。

當您調用.Next(x, y) ，有 y - x 可能的返回值。 .NET 4.0 Random類根據NextDouble()的返回值計算返回值（這是一個稍微簡化的描述）。

顯然，可能的 double 值集是有限的，並且如您所見，它可能不是.Next(x, y)的可能返回值集的大小的倍數。 因此，假設輸入值的集合是均勻分布的，一些輸出值出現的概率會稍大一些。

我不知道有多少雙精度數值（即，不包括無窮大和 NaN 值），但它肯定大於 2^32。 在你的情況下，如果我們假設 2^32 個值，為了論證，那么我們必須將 4294967296 個輸入映射到 10 個輸出。 某些值的發生概率會大 429496730 / 429496729，或者大 0.00000023283064397913028110629%。 事實上，由於輸入狀態的數量大於2^32，概率的差異會更小。

Answer 5

我在Microsoft Visual Studio Community 2017版本15.9.6，Microsoft .NET Framework版本4.7.03056中使用C＃。 在我直接計算出5.6525％的答案的分析中（由另一位研究人員驗證），我進行了500億輪的模擬，得出5.4721％。 我的仿真需要我生成范圍為[1，i]和[i，38]且i = 1,2，...，38的隨機整數，因此我使用Random.Next（1，i + 1）和Random下一步（i，39） 我花了幾天時間尋找數學上的一些錯誤來解釋差異，從而驗證了仿真模型的各個方面。 最終，我質疑Random.Next（）是否在我需要的時間間隔內真正生成了制服。 我換了所有隨機數生成器（例如，請參閱： http : //www.prowaretech.com/Computer/DotNet/Mersenne ）並使用Mersenne扭曲器，問題消失了。 只是一個警告性的故事。