此會議安排方案是否有很好理解的算法或解決方案模型？

Question

我有一個復雜的問題，我想知道是否存在或適用現有的解決方案模型，例如Traveling Salesman問題。

輸入 ：

• N個時間事件的日歷，由開始和結束時間以及地點定義。
• 每個會議場所的容納人數（可同時容納的最大人數）
• 一組指示(Ai,Aj)的對，指示出席者Ai希望與出席者Aj見面，而Aj接受了邀請。

輸出 ：

• 對於每個助理A ，他將參加的所有活動的時間表。 主要標准是每位服務員都應與盡可能多的接受邀請的服務員會面，以滿足空間限制。

到目前為止，我們考慮過使用回溯求解（嘗試所有可能的解決方案），以及使用線性編程（即定義模型並使用單純形算法求解）

更新：如果Ai在某些情況下已經見過Aj ，那么他們就不再需要見面了（他們已經見面了）。

Answer 1

您的問題與間隔圖中的最小最大匹配問題一樣困難，wlog假設會議室的容量為2表示他們只能及時處理一次會議。 您可以使用時間間隔圖對問題進行建模，每個時間間隔（針對每個人）是一個節點。 同樣，如果A_i和A_j擁有共同的時間並且他們也想彼此見面，則將邊緣的權重設置為他們應該彼此見面的時間。 如果在此圖中找到最小最大匹配，則可以找到受限情況的解決方案。 但是請注意，該圖是n部分，每個部分也是間隔圖。

PS：請注意，如果固定了人們彼此之間相處的時間，這將比加權在一起更容易。

Answer 2

如果您可以使用一個好的MIP求解器（通過Acedamic主動程序進行cplex / gurobi，但是coin OR和LP_solve是開源的，也不錯），我肯定會嘗試一下simplex。 我看過將您的問題表達為混合整數程序，我的感覺是它將有很強的松弛度，因此分支和剪切以及價格對您來說將大有幫助。 這些求解器提供了當今可擴展的解決方案，尤其是商業解決方案。 優勢在於它們還提供了一個上限，因此您可以了解解決方案質量，而啟發式方法則並非如此。

公式：

將z（i，j）（二進制）定義為一個變量，該變量指示在{1,2，...，N}中的至少一個事件n中，i和j在一起。 定義z（i，j，n）（二進制）以指示它們在事件n中在一起。 定義z（i，n）表示我正在參加n。 Z（i，j）和z（i，j，m）僅在應該滿足i和j的情況下存在。

對於每個t，M ^ t是同時保留的時間事件的子集。 因此，如果事件1是9到11，事件2是10到12，事件3是11到13，則M ^ 1 = {事件1，事件2）和M ^ 2 = {事件2，事件3} 。 即沒有人可以同時參加1和2或2和3，但是1和3可以。

Max sum Z(i,j)                      

z(i,j)<= sum_m z(i,j,m)   
(every i,j)(i and j can meet if they are in the same location m at least once)

z(i,j,m)<= z(i,m)   (for every i,j,m) 
(if i and j attend m, then i attends m)

z(i,j,m)<= z(j,m)     (for every i,j,m) 
(if i and j attend m, then j attends m)

sum_i z(i,m) <= C(m)   (for every m) 
(only C(m) persons can visit event m)

sum_(m in M^t) z(i,m) <= 1  (for every t and i)  
(if m and m' are both overlapping time t, then no person can visit them both. )

Answer 3

正如@SaeedAmiri指出的那樣，這似乎是一個復雜的問題。

我的猜測是，您正在考慮的回溯和線性編程選項會隨着助手數量的增加而激增（可能大約為幾十個助手）。

如果最優性不是必需的，也許您應該考慮采用（元）啟發式方法，或者通過約束編程來構建初始模型並查看其縮放比例。

為了給您更精確的答案，您為什么需要解決這個問題？ 典型的參加人數是多少？ 房間的數量？