圖形實現和鄰接矩陣的初始化

Question

圖通常使用鄰接矩陣表示。 各種來源表明可以避免初始化成本為| V ^ 2 | （ V是頂點的數量），但我可能還沒弄清楚如何。

在Java中，只需通過聲明矩陣，例如boolean adj [][] ，運行時將自動使用false初始化數組，這將是O（V ^ 2）成本（數組的維度）。
我誤解了嗎？ 是否有可能避免鄰接矩陣初始化的二次成本，或者這只是理論依賴於實現語言的東西？

Answer 1

這可以通過使用鄰接矩陣的稀疏矩陣表示來實現，其中僅分配“1”的位置而不是矩陣的每個元素（可能包括大量的零）。 您可能會發現此線程也很有用

Answer 2

矩陣值的默認初始化實際上是一個特征。 如果不是默認初始化，您是否仍然需要自己初始化每個字段，以便您知道它的價值是什么？

鄰接矩陣有這樣的缺點：它們在內存效率方面很差（它們需要O（n ² ）個存儲單元）並且如你所說它們的初始化速度較慢。 然而，初始化從未被認為是最大的問題。 相信我，內存分配要慢得多，並且所需的內存比初始化時間更具限制性。

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在許多情況下，人們更喜歡使用鄰接列表而不是矩陣。 這樣的列表需要O(m)存儲器，其中m是圖中邊的數量。 這樣效率更高，特別是對於稀疏圖。 該圖表示僅比鄰接矩陣更差的唯一操作是查詢is there edge between vertices i and j 。 矩陣在O(1)時間內回答，列表肯定會慢得多。

然而，許多典型的圖算法（如Dijkstra ， Bellman-Ford ， Prim ， Tarjan ， BFS和DFS ）只需要迭代給定頂點的所有鄰居。 如果使用鄰接列表而不是矩陣，所有這些算法都會受益匪淺。

Answer 3

這個帖子中存在很多混亂和錯誤的信息。 實際上，存在一種避免鄰接矩陣（以及通常的任何陣列）的初始化成本的方法。 但是，不可能將該方法與Java原語一起使用，因為它們是使用默認值初始化的。

假設您可以創建一個未自動初始化的數組data[0..n] 。 首先，它充滿了以前在內存中的垃圾。 如果我們不想花費O（n）時間來覆蓋它，我們需要一些方法來區分我們從垃圾數據中添加的好數據。

“技巧”是使用輔助堆棧來跟蹤包含良好數據的單元格。 我們第一次寫入data[i] ，我們將索引i添加到堆棧中。 由於堆棧只在我們添加它時才會增長，因此它永遠不會包含我們需要擔心的任何垃圾。

現在，每當我們訪問data[k]我們可以檢查其垃圾或不通過掃描堆棧k 。 但是每次讀取都需要O（n）時間，首先要擊敗陣列！

為了解決這個問題，我們制作另一個輔助數組stack_check[0..n] ，它也開始充滿垃圾。 此數組包含指向堆棧中元素的指針。 現在，當我們第一次寫入data[i] ，我們將i推入堆棧並將stack_check[i]設置為指向新的堆棧元素。

如果data[k]是好數據，則stack_check[k]指向保持k的堆棧元素。 如果data[k]是垃圾，那么stack_check[k]的垃圾值要么指向​​堆棧外部，要么指向除k之外的某個堆棧元素（因為k從未放在堆棧上）。 檢查此屬性只需要O（1）時間，因此我們的數組訪問速度仍然很快。

將它們整合在一起，我們可以在O（1）時間內創建我們的數組和輔助結構，讓它們充​​滿垃圾。 在每次讀寫時，我們使用我們的幫助器檢查給定單元格是否在O（1）時間內包含垃圾。 如果我們正在編寫垃圾，我們更新我們的幫助器結構以將單元格標記為有效數據。 如果我們閱讀垃圾，我們可以以適合給定問題的任何方式處理垃圾。 例如，我們可以返回一個默認值，如0（現在你甚至不能告訴我們沒有初始化它！）或者可能拋出異常。

Answer 4

我將詳細說明A_A的答案。 他建議使用稀疏矩陣，這基本上意味着你要回到維護鄰接列表。

使用矩陣有兩個原因 - 如果你根本不關心性能，就像它提供的簡單代碼，或者如果你關心性能，但你的矩陣將相對充滿（假設至少20％）滿滿的，為了這個帖子）。

你顯然關心性能。 如果你的矩陣相對空，它的初始化開銷可能是有意義的，你最好使用鄰接列表。 如果它會非常滿，初始化變得可以忽略不計 - 你需要在矩陣中填充正確的單元格（這不僅需要初始化它），而且你需要處理它們（這需要花費更多的時間）初始化它）。