在具有約束的圖中查找頂點不相交路徑的最大數量

Question

給定無向圖G =（V，E），每個邊與非負值相關聯。

如何在圖G上找到從s到t的頂點不相交路徑的最大數量，其中約束為路徑長度之和不大於預定值T.

Answer 1

您可以從將頂點不相交路徑問題轉換為邊緣不相交路徑問題開始。 有關詳細信息，請參閱其他問題的答案 。

現在，您可以在此圖上解決最小成本流問題 ，以查找具有最小路徑長度總和的任意數量的不相交路徑。 這樣做，為每個邊緣分配流量等於1，然后在s和t之間搜索流量等於所需路徑數量的最小成本流量。

要查找最大路徑數，請在二進制搜索的每個步驟中應用最小成本流程序，從一些初始路徑數開始，這可以通過以下過程之一確定：

1. 如果您希望最大路徑數量很大，請解決此圖表的最大流量問題 。
2. 如果您希望最大路徑數較小，請使用單側二進制搜索（每個步驟也使用最低成本流程）。

Answer 2

由於您只對頂點不相交路徑的數量感興趣，因此您可以使用Menger定理 （在此處進行證明），其說明如下：

設G是有限無向圖和x和y兩個不相鄰的頂點。 然后該定理指出x和y的最小頂點切割的大小（其移除斷開x和y的最小頂點數）等於從x到y的成對頂點獨立路徑的最大數量。

但是這不滿足路徑長度之和不大於預定值T的約束。

對於您將不得不使用的門格爾的定理有限長度的路徑的版本呈現在這里 ： http://www.math.elte.hu/~lovasz/scans/mengerian.pdf