如何找到以100000007為模的大數乘法

Question

我們知道1000000007是一個大質數。 如何找到兩個大數的模1000000007的乘法

例如，如果我想找到78627765 * 67527574 mod 1000000007，該怎么辦。

至少有人告訴我我會嘗試的程序

注意：請讓我知道具有int，long或long long等原始數據類型的解決方案，謝謝

Answer 1

模鏈具有合理的數量，這些數量正在推高數字比較空間的極限：

(A * B) % C == ((A % C) * (B % C)) % C.

證明很簡單，全世界加密網站上確實有成千上萬個示例。 一個簡單的示例：

（7 * 8）％5 = 56％5 = 1

和

((7 % 5) * (8 % 5)) % 5 = (2 * 3) % 5 = 6 % 5 = 1

我希望這有幫助。 顯然，當A和B已經達到您的高端平台限制，並且仍然小於C時，它就變得毫無意義，但是當情況並非如此時（例如，A> C和/或B> C ）。

Answer 2

由於這看起來像是作業或上下文問題，因此我僅給出提示。

如果您知道x％m和y％m，如何找到（x + y）％m？ 如果您知道x％m，怎么找到（2x）％m？

由於您想找到（a * b）％m，有沒有一種方法可以分解b，以便可以使用上面的兩個提示？

Answer 3

您為什么不想為此使用64位算術？ 當然，這僅在被乘法的操作數每個不超過32位的情況下才有效（但這也可以是固定的）。 考慮：

typedef unsigned long long uint64;
uint64 m = 1000000007UL;
uint64 r = (uint64)a * (uint64)b;
r = r % m; // get the residue

您還可以對其進行優化，以避免可能昂貴的'％'：

double inv = 1.0 / 1000000007UL; // precompute inverse
uint64 r = (uint64)a * (uint64)b;
uint64 rf = (uint64)floor((double)a * (double)b * inv); // floor(a * b / m) 
r = r - rf * m; //  residue

請注意，第二種方法可能需要一定的准確性。 您也可以使用“ long double”代替